Лекция 6. Метод последовательных приближений для решения нелинейных уравнений.
I. Оценка коэффициента в условии Липшица. а) Одномерный случай , , б) Общий случай , где - открытое подмножество в банаховом . Пусть . Определение 1. Дифференцируемость по Фреше. Для , т.ч. - линейный оператор. Определение 2. Дифференцируемость по Гато. , Теорема. (формула конечных приращений.) Если имеет производную по Гато в каждой точке отрезка , то . Следствие. Пусть - выпукло и . Тогда Задачи. 1) Пусть и непрерывны в , Тогда оператор определен на шаре пространства и дифференцируем на этом шаре. Производная определяется равенством если , то 2) оценка неверна, если множество невыпукло. 3) Пусть производная Гато существует в точке и в некоторой ее окрестности, причем при . Показать, что оператор дифференцируем по Фреше в . 4) II. Рассмотрим уравнение в банаховом пространстве с нелинейным оператором . Теорема. Пусть дифференцируемый по Фреше в точке (решение уравнения ). Пусть - спектральный радиус и пусть . Тогда последовательные приближения сходятся к , если достаточно близко к . Справедлива оценка , где любое положительное число. Доказательство. Пусть . Введем в эквивалентную норму , такую что для . Из определения производной Фреше , что из следует . Таким образом, если , то Если , то из получаем, что переводит шар в себя. Осталось доказать оценку . Пусть некоторое приближение попадает в указанный шар, т.е. . Применяя , получаем и т.д. окончательно Применяя оценки для норм. получим . Теорема доказана. Замечание. Из оценки следует, что если , то последовательные приближения сходятся к быстрее геометрической прогрессии со сколь угодно малым знаменателем. Характер сходимости можно уточнить, если предположить, что производная в окрестности точки удовлетворяет дополнительно условию Липшица Теорема. Если и выполняется , то имеет место оценка , где можно выбрать (за счет выбора ) сколь угодно малым. Доказательство. Пусть -такой линейный функционал на , что , . Тогда из формулы конечных приращений для скалярных функций имеем , где . т.к. , то Подставляя в предыдущее неравенство получим Обозначим через такую окрестность точки , что , в которой выполняется . Пусть . Тогда все последующие приближения . (следует из ). Из вытекает цепочка неравенств т.е. где можно выбрать сколь угодно малым. Получаем - сходимость более быстрая, чем геометрической прогрессии со сколь угодно малым знаменателем.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|