Здавалка
Главная | Обратная связь

Лекция 6. Метод последовательных приближений для решения нелинейных уравнений.



I. Оценка коэффициента в условии Липшица.

а) Одномерный случай

, ,

б) Общий случай

, где - открытое подмножество в банаховом . Пусть .

Определение 1. Дифференцируемость по Фреше.

Для , т.ч.

- линейный оператор.

Определение 2. Дифференцируемость по Гато.

,

Теорема. (формула конечных приращений.)

Если имеет производную по Гато в каждой точке отрезка , то .

Следствие. Пусть - выпукло и .

Тогда

Задачи.

1) Пусть и непрерывны в ,

Тогда оператор

определен на шаре пространства и дифференцируем на этом шаре. Производная определяется равенством

если , то

2) оценка неверна, если множество невыпукло.

3) Пусть производная Гато существует в точке и в некоторой ее окрестности, причем при . Показать, что оператор дифференцируем по Фреше в .

4) II. Рассмотрим уравнение в банаховом пространстве с нелинейным оператором .

Теорема. Пусть дифференцируемый по Фреше в точке (решение уравнения ). Пусть - спектральный радиус и пусть . Тогда последовательные приближения

сходятся к , если достаточно близко к .

Справедлива оценка

,

где любое положительное число.

Доказательство. Пусть . Введем в эквивалентную норму

, такую что для .

Из определения производной Фреше , что из следует . Таким образом, если , то

Если , то из получаем, что переводит шар в себя. Осталось доказать оценку . Пусть некоторое приближение попадает в указанный шар, т.е. . Применяя , получаем

и т.д.

окончательно

Применяя оценки для норм. получим

. Теорема доказана.

Замечание. Из оценки следует, что если , то последовательные приближения сходятся к быстрее геометрической прогрессии со сколь угодно малым знаменателем. Характер сходимости можно уточнить, если предположить, что производная в окрестности точки удовлетворяет дополнительно условию Липшица

Теорема. Если и выполняется , то имеет место оценка

, где можно выбрать (за счет выбора ) сколь угодно малым.

Доказательство. Пусть -такой линейный функционал на , что , .

Тогда из формулы конечных приращений для скалярных функций имеем

, где .

т.к. , то

Подставляя в предыдущее неравенство получим

Обозначим через такую окрестность точки , что , в которой выполняется . Пусть . Тогда все последующие приближения . (следует из ).

Из вытекает цепочка неравенств

т.е.

где можно выбрать сколь угодно малым.

Получаем - сходимость более быстрая, чем геометрической прогрессии со сколь угодно малым знаменателем.


 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.