Лекция 8. Комплексификация и декомплексификация нормированных пространств.
Уравнение 2-ого рода естественно рассматривать в комплексном пространстве. Пусть - комплексное нормированное пространство.
Определение 1. - инволюция, если 1) 2) для 3) для Определение 2. Множество элементов, для которых называется вещественным ядром пространства . определение 3. называется вещественной частью и обозначается . называется мнимой частью и означается . Легко проверить, что ; , т.е. и - вещественные элементы . Также легко проверить, что Естественно называть сопряженным к . Задача 1. Представление с вещественными и единственно, т.е. обязательно , . Задача 2. Вещественное ядро пространства Является вещественным нормированным пространством, причем полным, если полно . Все конкретные вещественные пространства, которые рассматривались, являются вещественными ядрами соответствующих комплексных пространств. Инволюцией будет оператор комплексного сопряжения. Теорема. Произвольное вещественное пространство можно рассматривать как вещественное ядро некоторого комплексного пространства . Доказательство. Элементы - это пары , где . Введем операции 1) . 2) , 3) Проверим, что - комплексное нормированное пространство. Аксиомы линейного пространства проверяются очевидным образом. Проверим аксиомы нормы. Очевидно всегда и (Доказать, что достигается при некотором ) Покажем, что существует единств. с точностью до знака , что Возводя в квадрат и складывая получаем . Проверим, что является вещественным ядром относительно инволюции : 1) 2) . Определение. Пространство называется комплексификацией пространства . Опишем обратную процедуру декомплексификации. Пусть -комплексное нормированное пространство. Каждый элемент запишем в виде , где и - вещественные элементы . Рассмотрим вещественное линейное пространство пар , в котором введем операции 1) . 2) 3) Легко проверить, что получается вещественное нормированное пространство. Определение. Пусть и - комплексные нормированные пространства с вещественными ядрами и . Определение. Непрерывный линейный оператор называется вещественным, если . Обратно, если - непрерывный линейный оператор и если , , то называется комплексным расширением оператора . Справедливо неравенство . Первая часть неравенства очевидна. Докажем вторую: Здесь воспользовались , т.к. . Так же доказывается, что . Во многих случаях справедливо равенство . Например если норма в пространствах и определена как выше, то Следовательно , откуда . Задача 3. Если вещественный оператор компактен, то компактен и обратно, если - компактен, то его компактный расширенный – компактный оператор.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|