Здавалка
Главная | Обратная связь

Лекция 8. Комплексификация и декомплексификация нормированных пространств.



Уравнение 2-ого рода естественно рассматривать в комплексном пространстве. Пусть - комплексное нормированное пространство.

 

Определение 1. - инволюция, если

1)

2) для

3) для

Определение 2. Множество элементов, для которых называется вещественным ядром пространства .

определение 3. называется вещественной частью и обозначается . называется мнимой частью и означается .

Легко проверить, что ; , т.е. и - вещественные элементы . Также легко проверить, что

Естественно называть сопряженным к .

Задача 1. Представление с вещественными и единственно, т.е. обязательно , .

Задача 2. Вещественное ядро пространства Является вещественным нормированным пространством, причем полным, если полно .

Все конкретные вещественные пространства, которые рассматривались, являются вещественными ядрами соответствующих комплексных пространств. Инволюцией будет оператор комплексного сопряжения.

Теорема. Произвольное вещественное пространство можно рассматривать как вещественное ядро некоторого комплексного пространства .

Доказательство. Элементы - это пары , где . Введем операции

1) .

2) ,

3)

Проверим, что - комплексное нормированное пространство. Аксиомы линейного пространства проверяются очевидным образом. Проверим аксиомы нормы.

Очевидно всегда и

(Доказать, что достигается при некотором )

Покажем, что существует единств. с точностью до знака , что

Возводя в квадрат и складывая получаем .

Проверим, что является вещественным ядром относительно инволюции :

1)

2) .

Определение. Пространство называется комплексификацией пространства .

Опишем обратную процедуру декомплексификации.

Пусть -комплексное нормированное пространство. Каждый элемент запишем в виде , где и - вещественные элементы .

Рассмотрим вещественное линейное пространство пар , в котором введем операции

1) .

2)

3)

Легко проверить, что получается вещественное нормированное пространство.

Определение. Пусть и - комплексные нормированные пространства с вещественными ядрами и .

Определение. Непрерывный линейный оператор называется вещественным, если . Обратно, если - непрерывный линейный оператор и если , , то называется комплексным расширением оператора .

Справедливо неравенство .

Первая часть неравенства очевидна.

Докажем вторую:

Здесь воспользовались , т.к. .

Так же доказывается, что .

Во многих случаях справедливо равенство . Например если норма в пространствах и определена как выше, то

Следовательно , откуда .

Задача 3. Если вещественный оператор компактен, то компактен и обратно, если - компактен, то его компактный расширенный – компактный оператор.


 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.