Здавалка
Главная | Обратная связь

Лекция 10. Резольвента.



Продолжим изучение уравнения

Рассмотрим случай - неособенные значения.

Определение. Пусть - неособенное значение . Оператор , определяемые из соотношения

называется резольвентой оператора .

Если , то положим .

Если рассматривается множество регулярный значений, то резольвентой называют оператор

В теории интегральных уравнений чаще рассматривается резольвента (ее называют резольвентой Фредгольма). В абстрактном функциональном анализе под резольвентой обычно понимают .

Если , то

Доказательство.

Обратно, выразим через

следует из определения .

используя , получим, раскрывая скобки

Исследуем поведение при малых . Рассмотрим ряд

Ранее было доказано, что сходимость этого ряда эквивалентна существованию обратного оператора

причем

окончательно получим

Ранее было доказано, что ряд сходится, если и расходится, если .

Отсюда получаем

Теорема 1. Резольвента разлагается в ряд по степеням , радиус сходимости которого

Следствие. Резольвента разлагается в ряд по степеням :

Некоторые свойства резольвенты:

1) Для

Доказательство.

Из формулы имеем .

Умножим справа на , а слева на . Получим

Отсюда

Следствие. Операторы и перестановочны.

2) Аналогично доказывается .

3) Резольвента является непрерывной функцией параметра , т.е. если , то .

Доказательство. Докажем сначала, что вещественная функция - непрерывна. Если , то тогда утверждение доказано. Если , то , поэтому можно доказывать непрерывность .

Из равенства

отсюда

, откуда и следует непрерывность и .

Докажем теперь непрерывность .

Т.к. открыто, а , то найдется круг целиком лежащий в . Непрерывная функция для .

Имеем .

Теорема 2. Радиус сходимости ряда есть расстояние от точки до характеристического множества . (Без доказательства.)

Следствие. Для компактного (в частности для конечномерного) оператора , где - собственные числа (имеются в виду вещественные и комплексные собственные значения оператора ).

Если - вещественный оператор, то рассмотрим его комплексное расширение. При этом называется собственным значение вещественного оператор , если , т.ч. и .


 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.