Лекция 10. Резольвента.
Продолжим изучение уравнения Рассмотрим случай - неособенные значения. Определение. Пусть - неособенное значение . Оператор , определяемые из соотношения называется резольвентой оператора . Если , то положим . Если рассматривается множество регулярный значений, то резольвентой называют оператор В теории интегральных уравнений чаще рассматривается резольвента (ее называют резольвентой Фредгольма). В абстрактном функциональном анализе под резольвентой обычно понимают . Если , то Доказательство. Обратно, выразим через следует из определения . используя , получим, раскрывая скобки Исследуем поведение при малых . Рассмотрим ряд Ранее было доказано, что сходимость этого ряда эквивалентна существованию обратного оператора причем окончательно получим Ранее было доказано, что ряд сходится, если и расходится, если . Отсюда получаем Теорема 1. Резольвента разлагается в ряд по степеням , радиус сходимости которого Следствие. Резольвента разлагается в ряд по степеням : Некоторые свойства резольвенты: 1) Для Доказательство. Из формулы имеем . Умножим справа на , а слева на . Получим Отсюда Следствие. Операторы и перестановочны. 2) Аналогично доказывается . 3) Резольвента является непрерывной функцией параметра , т.е. если , то . Доказательство. Докажем сначала, что вещественная функция - непрерывна. Если , то тогда утверждение доказано. Если , то , поэтому можно доказывать непрерывность . Из равенства отсюда , откуда и следует непрерывность и . Докажем теперь непрерывность . Т.к. открыто, а , то найдется круг целиком лежащий в . Непрерывная функция для . Имеем . Теорема 2. Радиус сходимости ряда есть расстояние от точки до характеристического множества . (Без доказательства.) Следствие. Для компактного (в частности для конечномерного) оператора , где - собственные числа (имеются в виду вещественные и комплексные собственные значения оператора ). Если - вещественный оператор, то рассмотрим его комплексное расширение. При этом называется собственным значение вещественного оператор , если , т.ч. и .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|