Здавалка
Главная | Обратная связь

Лекция 12. Итерационные методы линейной алгебры.



I. Отыскание наибольшего по модулю действительного собственного значения для матрицы простой структуры.

Пусть у матрицы имеется линейно независимых собственных векторов.

Собственные числа

Собственные векторы .

Произвольный вектор

Образуем последовательность векторов

Выпишем в последнем выражении за скобки

Если и для , то

Таки образом, для достаточно больших вектор будет близок к собственному вектору матрицы , соответствующему наибольшему по модулю собственному значению.

Рассмотрим произвольный базис .

Для вектора обозначим - -ую компоненту в данному базисе.

Из формул следует, что

 

Вывод: при достаточно больших

В практических вычислениях показателем того, что мы достаточно хорошо приблизились к и , будет постоянство отношений (с требуемой степенью точности) соответствующих компонент и .

Рассмотрим случай - симметрическая. Норму в возьмем евклидову (порождается скалярным произведением.)

Тогда вектор можно считать ортонормированными. В качестве приближенного значения собственные вектора можно взять

Обозначим . Из формул следует, что

,

следовательно

Далее покажем, как еще можно уточнить значение для симметрической матрицы .

Положим

Тогда

, вообще говоря, отличен от .

Из и следует, что

Считая и малыми, отбросим их произведение. Получим

Умножим скалярно обе части на . Получим

Имеем

и

Следовательно дает

Полученную формулу для можно использовать для уточнения найденного приближенного значения , если заменить на .

Далее попробуем оценить .

Умножим обе части равенства на .

Получим

Но

Следовательно

,

Найдем теперь . т.к. (следует из )

то

 

Выражение и позволяют оценить норму вектора . Имеем

Откуда получаем

Далее, перепишем в виде

т.к. то

Продолжим с учетом

Из , учитывая что

окончательно получим







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.