Лекция 12. Итерационные методы линейной алгебры. ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
I. Отыскание наибольшего по модулю действительного собственного значения для матрицы простой структуры. Пусть у матрицы имеется линейно независимых собственных векторов. Собственные числа Собственные векторы . Произвольный вектор Образуем последовательность векторов Выпишем в последнем выражении за скобки Если и для , то Таки образом, для достаточно больших вектор будет близок к собственному вектору матрицы , соответствующему наибольшему по модулю собственному значению. Рассмотрим произвольный базис . Для вектора обозначим - -ую компоненту в данному базисе. Из формул следует, что
Вывод: при достаточно больших В практических вычислениях показателем того, что мы достаточно хорошо приблизились к и , будет постоянство отношений (с требуемой степенью точности) соответствующих компонент и . Рассмотрим случай - симметрическая. Норму в возьмем евклидову (порождается скалярным произведением.) Тогда вектор можно считать ортонормированными. В качестве приближенного значения собственные вектора можно взять Обозначим . Из формул следует, что , следовательно Далее покажем, как еще можно уточнить значение для симметрической матрицы . Положим Тогда , вообще говоря, отличен от . Из и следует, что Считая и малыми, отбросим их произведение. Получим Умножим скалярно обе части на . Получим Имеем и Следовательно дает Полученную формулу для можно использовать для уточнения найденного приближенного значения , если заменить на . Далее попробуем оценить . Умножим обе части равенства на . Получим Но Следовательно , Найдем теперь . т.к. (следует из ) то
Выражение и позволяют оценить норму вектора . Имеем Откуда получаем Далее, перепишем в виде т.к. то Продолжим с учетом Из , учитывая что окончательно получим ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|