Главная | Обратная связь

Задание на лабораторную работу № 1

Лабораторная работа №1

Геометрический метод решения игры 2х2

 

Общие положения

Графический метод решения можно применять при решении игры 2×2, 2×n и m×2.

Оптимальную стратегию для игроков А и В, можно определить геометрически, используя в обоих случаях принцип минимакса.

При графическом решении игры необходимо для игрока А построить нижнюю границу выигрыша и определить его максимальное значение, а для игрока В построить верхнюю границу проигрыша и на ней определить минимум.

Замечание:

если исходная платежная матрица содержит отрицательные числа, для графического решения задачи следует перейти к новой матрице с неотрицательными элементами, добавив к элементам исходной матрицы соответствующее положительное число. Решение игры при этом не изменится, а цена игры увеличится на это число.

 

Технология решения игры

 

Рассмотрим пример решения игры 2х2: решить графически игру, заданную платежной матрицей .

Решение

 

Будем считать, что агента 1 - это игрок А, а агент 2 – игрок В.

Стратегии агента 1: А₁ – кооперироваться, А₂ – не кооперироваться.

Стратегии агента 2: В₁ – кооперироваться, В₂ – не кооперироваться.

 

На первом этапе решения задачи нужно определить: решается ли поставленная задача в чистых стратегиях. Для этого найдем нижнюю и верхнюю цены игры:

 

Ai Вj	стратегии игрока В	αi	нижняя цена игры, α
В1	В2
стратегии игрока А	A1	1,5		1,5	α=1,5
A2
βj
верхняя цена игры, β	β=2

 

α ≠ β, седловая точка отсутствует.

Следовательно, оптимальное решение игры следует искать в смешанных стратегиях игроков:

S*_A= (p*₁ , p*₂) иS*_B= (q*₁ , q*₂)

Игра имеет размер 2 × 2. Поэтому игру можно решить графическим способом.

 

Второй этап: решение игры в смешанных стратегиях геометрическим способом.

Решение игры геометрическим методом состоит из двух шагов:

1. определение оптимальной стратегии игрока А,

2. определение оптимальной стратегии игрока В

Шаг 1. Оптимальная стратегия игрока А S*_A=(p*₁p*₂), в соответствии с принципом минимакса, определяется координатами точки пересечения двух прямых, соответствующих стратегиям В₁ и В₂ игрока В, в которой минимальный выигрыш игрока А достигает максимума. Ордината этой точки равна цене игры v.

Построим геометрическую модель игры.

По оси абсцисс (рисунок 1) откладываем единичный отрезок A₁A₂. Ось I-I соответствует выбору игроком А стратегии A_1, ось II—II - стратегии A₂.

На вертикальной оси I-I откладываем отрезки: h₁₁=1,5, соответствующий стратегии B₁, и h₁₂ = 3, соответствующий стратегии B₂ – выигрыши игрока А при выборе им стратегии А₁.

На вертикальной оси II—II отрезок h₂₁=2 соответствует стратегии B₁ , отрезок h₂₂=1 соответствует стратегии B₂ (рисунок 1) – при выборе игроком А стратегии A₂.

Нижняя цена игры α=h₁₁=1,5. Верхняя цена игры β =h₂₁=2.

На графике видно, что седловая точка отсутствует (α ≠β).

Абсцисса точки N – точки пересечения прямых B₁B₁ и B₂B₂, определяет оптимальную стратегию S*_A , а ордината - цену игры v.

 

 

Рисунок 1 – Графическое решение игры для игрока А

 

Определим уравнения прямых B₁B₁ и B₂B₂.

Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

 

 

Следовательно, уравнение прямой B₁B₁, проходящей через точки (0; 1,5) и (1; 2), будет

или y = 0,5x + 1,5.

Уравнение прямой B₂B₂, проходящей через точки (0; 3) и (1; 1):

или y = -2x + 3.

Тогда, точка пересечения этих прямых является решением системы:

 

или x=0,6; y =1,8, т.е. N(0,6; 1,8)

Таким образом, p*₂=0,6,

p*₁=1-0,6=0,4;

цена игры v=1,8;

Оптимальная стратегия S*_A = (0,4;0,6),

 

Шаг 2.Оптимальную стратегию игрока В геометрически можно определить, если поменять местами игроков А и В и вместо максимума нижней границы A₂MA₁ в соответствии с принципом минимакса рассмотреть минимум верхней границы.

Абсцисса точки М определяет q*₂ в оптимальной стратегии игрока В, ордината этой точки - цена игры.

Прямая A₁A₁ , проходящая через точки (0; 1,5) и (1; 3), удовлетворяет уравнению y = 1,5x + 1,5.

Прямая A₂A₂ , проходящая через точки (0; 2) и (1; 1), удовлетворяет уравнению у = - х +2.

 

 

Рисунок 2 – Графическое решение игры для игрока В

 

Координаты их точки пересечения М- это решение системы уравнений:

.

 

Откуда x=0,2; y=1,8, т.е. М(0,2;1,8)

q*₂=0,2,

q*₁=1-q*₂ =0,8,

v=y=1,8,

Оптимальная стратегия S*_B = (0,8;0,2)

 

Ответ:

 

игра решена в смешанных стратегиях.

Цена игры равна 1,8.

Оптимальное решение игры:

, , т.е. при взаимодействии с оппонентом агент 1 должен на 40% применять стратегию кооперации и на 60% некооперации с оппонентом, а агент 2 должен кооперироваться с оппонентом в 80% случаев и не кооперироваться – в 20%.

Задание на лабораторную работу № 1

Агенты двух фирм вступают друг с другом в парные взаимодействия. Каждый из них должен решить кооперироваться ему с оппонентом или нет. Все возможные варианты исходов такой игры и связанные с ними выигрыши представлены в виде платежной матрицы изображенной на рисунке 3.

 

	Агент 2
кооперироваться	не кооперироваться
Агент 1	кооперироваться	R	S
не кооперироваться	T	P

 

Рисунок 3 - Матрица исходов парной игры с двумя стратегиями. Значения выигрышей агента 1 обозначены буквами.

 

Решить игру графически. Значения исходных данных (T, R, S, P) по вариантам приведены в таблице 1:

 

Таблица 1 – Исходные данные по вариантам

 

Вариант	Платежная матрица Н

 

К защите задания подготовить отчет.