Здавалка
Главная | Обратная связь

Найти действительный корень уравнения методом бисекции

Лабораторная работа №2

 

Тема: Численное решение нелинейных уравнений в Mathcad (метод бисекции).

Цель работы: научиться решать нелинейное уравнение в Mathcad, используя вычислительный алгоритм метода бисекции (половинного деления).

 

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с теоретическими положениями.

2. Рассмотреть пример реализации метода бисекции в MathCAD.

3. Выполнить практическое задание.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета

1. Тема, цель работы.

2. Практическое задание:

2.1. Постановка задачи.

2.2. Результаты выполнения.

3. Ответы на контрольные вопросы.

4. Вывод.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Метод бисекции (половинного деления) состоит в следующем.

Пусть дано уравнение f(x)=0 (1), где f(x) – непрерывная функция на [a,b] и f(a)×f(b)<0. Требуется определить вещественные корни этого уравнения. Для нахождения корня уравнения на отрезке [a,b] необходимо: Разделить отрезок [a,b] пополам. Если или ça – bç £ e, то является корнем уравнения. Если или ça – bç > e, то выбираем ту из половин отрезка [a,b], на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый суженый отрезок [a1,b1] снова делим пополам и проводим то же рассмотрение и т.д.

Рассмотрим реализацию алгоритма метода половинного деления в MathCAD на следующем примере.

Найти действительный корень уравнения методом бисекции

x4 + 2x3 – x – 1 = 0.

§ Запустите приложение MathCAD. Сохраните документ в вашей личной папке с именем Пр_3.

§ Определите левую часть нелинейного уравнения как функцию f(x).

§ Постройте график функции f(x), точка пересечения которого с осью абсцисс и даст приближенное значение корня исходного уравнения. Определим по графику значения концов отрезка, содержащего корень уравнения: a=0, b=1.

§ Задайте значения концов отрезка [a,b] в векторной форме. Для этого, используя панель инструментов Матрицы, получите оператор вектора на два элемента и заполните его идентификаторами концов отрезка a0 и b0. при помощи клавиши пробела выведите курсор за знак оператора, ввести символ определения (:=); введите еще один оператор вектора на два элемента и заполните его значениями концов отрезка: 0 и 1.

§ Задайте дискретную переменную i (от 0 до 9), определяющую количество этапов деления отрезка [a,b], за которое мы рассчитываем получить решение уравнения.

§ Определите формулы вычисления концов отрезка на каждом этапе деления его пополам, воспользовавшись условным оператором if в векторной форме. Для этого выполните действия:

- введите оператор вектора на три элемента и заполните его идентификаторами искомых величин ai+1 ,bi+1 , gi (gi – для вычисления ).

- введите знак присвоения и еще один оператор вектора на три элемента.

- последний оператор заполните расчетными формулами.

§ Чтобы увидеть результат вычислений, введите последовательно a= , b= , g= . Вектор а покажет начала всех разделенных отрезков, b – концы этих отрезков. Вектор g содержит значения функции f(x) в серединах всех отрезков [a, b]. Среди значений вектора a или вектора b будет корень исходного уравнения.

§ Определите корень уравнения следующим образом. Проанализируйте значения вектора g. Найдите элемент вектора, значение которого наиболее близко к нулю. В данном примере это значение элемента g9= –0,00336. Это значение функции в середине отрезка [a9 ,b9]. Корнем уравнения будет значение а10=0,86621.

 

Результат на экране:

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Методом бисекции (половинного деления) уточнить корни уравнения из индивидуальной контрольной работы

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  1. Какие исходные данные необходимы для вычисления корня нелинейного уравнения методом бисекции?
  2. При выполнении какого условия значение точки х – середины текущего отрезка [ai,bi] принимается в качестве приближенного значения корня уравнения f(x)=0 (в качестве точного значения корня уравнения f(x)=0)?
  3. Какие команды и инструменты MathCAD вы использовали при выполнении работы?




©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.