 |
|
Решение типовых задач
Задача 2.1.Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей: 
Решение. Прямая задана общими уравнениями (2.1). Найдем какую-нибудь точку 
на прямой. Выберем, например, 
. Другие координаты получим из системы уравнений 
Очевидно, что 
. Следовательно, 
. Затем находим направляющий вектор 
прямой. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то вектор ортогонален нормальным векторам этих плоскостей, т. е. 
(рис. 2.1). Поэтому за направляющий вектор можно принять
.
Подставляя координаты направляющего вектора и точки в уравнения прямой (2.3), получим
.
Ответ: .
Полезная формула. Если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей:
то ее направляющий вектор можно выбрать в виде
. (2.6)
Задача 2.2.Найти параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку 
и параллельной вектору 
.
Решение. Известны точка и направляющий вектор прямой.
Согласно формуле (2.2) параметрические уравнения прямой имеют вид
Канонические уравнения получаем, используя формулу (2.3):
.
Ответ: .
Задача 2.3.Найти направляющийвектор прямой 
: 
Решение. Прямая проходит через точку (2, 4) на плоскости 
и параллельна оси 
(рис. 2.2). Очевидно, что ее направляющий вектор можно выбрать в виде (0, 0, 1).
Ответ: (0, 0, 1).
Задача 2.4.Найти косинусы углов, которые образует с осями координат прямая
.
Решение. Обозначим через 
, 
косинусы углов прямой с осями 
, 
и соответственно. Они, очевидно, равны направляющим косинусам вектора прямой. Из уравнений прямой находим 
.
Следовательно,
; 
; 
.
(Напомним, что 
Ответ: 
Задача 2.5.Найти косинус острого угла между прямыми
: 
; 
: 
.
Решение. Из уравнений прямых вытекает, что направляющий вектор прямой равен 
, направляющий вектор прямой равен 
. Для удобства вычислений направляющий вектор прямой выберем в виде 
. Он коллинеарен исходному. Используя формулу (2.5), получаем 
Ответ: 
Задача 2.6.Показать, что прямая 
перпендикулярна прямой
Решение. Направляющий вектор первой прямой, очевидно, равен 
, направляющий вектор второй прямой 
найдем с помощью формулы (2.6):
.
Вычислим скалярное произведение векторов 
и 
Ответ: прямые перпендикулярны.
Задача 2.7.Проверить, лежат ли три данные точки 
, 
и 
на одной прямой.
Решение. Напишем уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и , согласно формуле (2.4). Получим
.
Проверим, удовлетворяют ли координаты точки этим уравнениям. После подстановки 
получаем: 
Следовательно, точка 
не лежит на прямой.
Ответ: не лежат.
Задача 2.8.Найти канонические уравнения прямых 
, проходящих через точку 
параллельно: 1) оси ; 2) оси ; 3) оси .
Решение. Найдем уравнения прямой 
, проходящей через точку параллельно оси . Ее направляющий вектор 
можно выбрать в виде 
(рис. 2.3).
Используя формулу (2.3), получим
: 
.
Таким же образом находим и .
: 
, 
;
: 
, 
.
Ответ: : 
; : 
; : 
.
Задача 2.9.Найти точки пересечения прямой : 
с плоскостями координат.
Решение. Для того чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью , в канонических уравнениях прямой следует положить 
. Получим 
, откуда 
, 
. Таким образом, прямая пересекает плоскость в точке 
. Аналогично находим точки пересечения с плоскостями 
и 
.
Ответ: 
; 
; 
.
Задача 2.10.Известны координаты вершин тетраэдра: 
. Составить канонические уравнения его ребер и найти их длины.
Решение. Условие такое же, как и в задаче 1.10 (рис. 2.4). Найдем уравнения ребра 
. Для этого подставим координаты вершин 
и 
в формулу (2.4). Получим 
. Теперь можно определить длину ребра :
.
Уравнения и длины остальных ребер найдите самостоятельно.
Ответ: 1) : , 
;
2) 
: 
, 
;
3) 
: 
, 
;
4) 
: 
, 
;
5) 
: 
, 
;
6) 
: 
, 
.
Задача 2.11.Найти точку пересечения двух прямых
: 
: 
.
Решение. Перепишем уравнения прямых в параметрическом виде
: 
: 
Для нахождения точки пересечения этих прямых нужно решить систему уравнений:
Очевидно, она имеет единственное решение 
Подставляя значение параметра 
в параметрические уравнения прямой (или 
в уравнения прямой ), получим 
Ответ: 
.
Задача 2.12.Найти биссектрису острого угла между прямыми
: 
; : .
Решение. Точка пересечения этих прямых найдена в ходе решения задачи 2.11. Убедимся теперь, что направляющие векторы 
и 
прямых и образуют острый угол. Действительно,
Очевидно, что 
. (Направляющие векторы и всегда можно взять равными по длине, например единичными.) Так как 
, то параллелограмм, построенный на векторах и как на сторонах, является ромбом, а диагональ 
биссектрисой его угла. Следовательно, вектор 
может быть выбран в качестве направляющего вектора биссектрисы .
Таким образом, известно, что искомая прямая проходит через точку 
и ее направляющий вектор равен 
. Запишем канонические уравнения согласно формуле (2.3):
Чертеж к этой задаче предлагаем сделать самостоятельно.
Ответ: 
.