 |
|
Решение типовых задач
Задача 3.1.Найти острый угол между прямой 
и плоскостью 
.
Решение. Направляющий вектор прямой равен 
. Нормальный вектор плоскости равен 
. По формуле (3.1)
, 
.
Ответ: 
Задача 3.2.При каком значении 
прямая 
: 
параллельна плоскости 
: 
?
Решение. Согласно условию задачи прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Нормальный вектор первой плоскости равен 
, нормальный вектор второй плоскости равен 
. Направляющий вектор прямой равен 
(см. формулу (2.6)):
.
Условие параллельности прямой и плоскости 
это условие ортогональности направляющего вектора прямой 
и нормального вектора плоскости 
, т. е. 
. Умножая, получаем
.
Таким образом, уравнение плоскости будет 
.
Ответ: 
Задача 3.3.При каких значениях и 
прямая 
лежит в плоскости 
?
Решение. Прямая будет параллельна плоскости, если ее направляющий вектор 
будет ортогонален нормальному вектору плоскости 
, т. е. . Запишем это условие:
Прямая будет принадлежать плоскости, если координаты точки 
, через которую проходит прямая, удовлетворяют уравнению плоскости: 
. Отсюда получаем, что
При решении задачи мы воспользовались формулой (3.2).
Ответ: 
Задача 3.4.Найти точку пересечения прямой : 
и плоскости : 
Решение. Запишем уравнения прямой в параметрическом виде
Подставляя выражения для 
в уравнение плоскости , получим
Теперь следует подставить значение параметра 
в параметрические уравнения прямой . Находим 
.
Ответ: 
Полезная формула. Если прямая 
пересекается с плоскостью 
, то точке пересечения 
отвечает значение параметра
. (3.3)
Задача 3.5.Найти уравнение плоскости 
, проходящей через прямую : 
перпендикулярно плоскости 
: 
Решение. Плоскость имеет два направляющих вектора 
и 
и проходит через точку 
(рис. 3.1). Согласно формуле (1.9) ее уравнение будет иметь вид
,
или
.
Окончательно: 
.
Ответ: .
Задача 3.6.Известны координаты вершин тетраэдра: 
Найти уравнение и длину его высоты 
.
|
|
имеет вид 
. В качестве направляющего вектора 
высоты можно выбрать нормальный вектор грани , т. е. 
(рис. 3.2). Кроме того, нам известны координаты точки 
, через которую проходит высота. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой (2.3). Тогда получим
: 
.
Высоту 
можно найти по формуле (1.5), определяющей расстояние от точки до грани : .
.
(Напомним, что 
– это коэффициенты в общем уравнении плоскости , и они равны 
, 
, 
, 
.)
Ответ: : ; 
.
Задача 3.7.Даны прямые 
: 
и 
: 
. Найти уравнение плоскости 
проходящей через прямую 
параллельно прямой 
Решение. Векторы 
и 
являются направляющими векторами плоскости (рис. 3.3). Точка 
принадлежит плоскости . Решаем задачу, используя формулу (1.9):
,
или
.
Окончательно: 
.
Ответ: .
Задача 3.8.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую : 
и точку 
.
Решение. Прямая проходит через точку 
и ее направляющий вектор равен 
. Произвольная точка 
будет принадлежать искомой плоскости , если векторы 
и компланарны: 
(рис. 3.4), т. е.
.
Это и есть уравнение плоскости . Подставляем координаты:
,
или
.
Окончательно: 
.
Ответ: .
Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через прямую : 
и точку 
, не лежащую на этой прямой, имеет вид
(3.4)
Задача 3.9.Доказать, что прямые
: 
: 
лежат в одной плоскости и найти уравнение этой плоскости.
Решение. Первая прямая проходит через точку 
и ее направляющий вектор 
. Вторая прямая проходит через точку 
и ее направляющим вектором является 
. Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости, если векторы 
, 
и 
компланарны: 
(рис. 3.5), т. е.
.
Подставим заданные координаты:
.
Это означает, что прямые и лежат в одной плоскости. Векторы и не коллинеарны. Следовательно, эти прямые пересекаются.
Найдем уравнение плоскости , в которой лежат прямые и . Очевид 
но, что произвольная точка будет принадлежать плоскости, если векторы 
, , компланарны: 
(рис. 3.6), т. е.
.
Это и есть уравнение искомой плоскости. Подставляем координаты и вычисляем определитель разложением по элементам первой строки. Получаем
,
или
.
Окончательно: 
.
Ответ: .
Полезные формулы. Две прямые
: 
: 
лежат в одной плоскости, если
. (3.5)
Если прямые пересекаются, то уравнением этой плоскости будет
. (3.6)
Замечание. Прямые скрещиваются (т. е. не лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда 
и равенство (3.5) несправедливо.
Задача 3.10.Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:
: 
: 
.
|
. Первая прямая проходит через точку 
, вторая через точку 
. Произвольная точка 
принадлежит искомой плоскости , если векторы , и компланарны: 
(рис. 3.7), т. е.
.
Подставляя заданные координаты, находим уравнение плоскости
,
или
.
Окончательно: 
.
Ответ: .
Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые ( 
, 
)
: 
: 
,
имеет вид
. (3.7)
Замечание. В задачах 1.3, 1.9, 3.5, 3.8–3.10 без труда можно указать два направляющих вектора искомых плоскостей. Поэтому решение этих задач аналогично решению задачи 1.2. Если эти направляющие векторы явно не обозначены в ходе решения, то найдите их самостоятельно. Подумайте, что общего в формулах (1.7)–(1.9), (3.4)–(3.7).
Задача 3.11.Найти координаты проекции точки 
на плоскость : 
.
Решение. Находим параметрические уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно плоскости . В качестве направляющего вектора прямой можно выбрать нормальный вектор 
плоскости , т. е. положить 
(рис. 3.8). Параметрические уравнения прямой будут (см. формулу (2.2)):
По формуле (3.3) находим значение параметра 
, при котором прямая пересекает плоскость. Получим . Подставим это значение в параметрические уравнения прямой и вычислим координаты точки 
Ответ: 
Задача 3.12.Найти координаты точки 
, симметричной точке 
относительно плоскости : .
Решение. Воспользуемся результатом решения предыдущей задачи. Точка 
– проекция точки 
на плоскость. Координаты точки 
можно найти, используя соотношения:
(рис. 3.9). Следовательно,
Ответ: 
Задача 3.13.Найти координаты проекции точки 
на прямую : 
.
Решение. Найдем уравнение плоскости , перпендикулярной прямой и проходящей через точку . В качестве нормального вектора плоскости можно выбрать направляющий вектор прямой , т. е. положить 
(рис. 3.10). Тогда уравнение плоскости
: 
или
Параметрические уравнения прямой имеют вид
Далее решаем аналогично задаче 3.11. Координаты точки находим с помощью формулы (3.3). Получаем 
, 
Ответ: 
Задача 3.14.Найти координаты точки , симметричной точке 
относительно прямой
: 
Решение. Воспользуемся результатом задачи 3.13. Точка 
проекция точки на прямую .
Координаты точки можно найти, используя соотношения:
(рис. 3.11). Следовательно,
Ответ: 
Задача 3.15.Найти расстояние между параллельными прямыми
.
Решение. Нужно вычислить длину перпендикуляра 
, опущенного из точки 
, через которую проходит прямая 
, на прямую . Для этого построим параллелограмм со сторонами и (рис. 3.12). Здесь 
– точка, через которую проходит прямая 
, а 
направляющий вектор прямых (так как прямые параллельны, то 
). Площадь 
параллелограмма вычисляется с помощью векторного произведения векторов 
и 
:
.
Расстояние получим, разделив площадь параллелограмма на длину его стороны 
:
Ответ: 
Полезная формула. Если заданы две параллельные прямые 
; 
,
то расстояние между ними вычисляется по формуле
,
где 
и 
точки, через которые проходят прямые и 
соответственно, 
их направляющий вектор.
Задача 3.16.Найти расстояние между скрещивающимися прямыми:
Решение. Прямая проходит через точку 
и ее направляющий вектор 
. Прямая проходит через точку 
и ее направляющий вектор 
. Известно, что если прямые скрещиваются, то существуют две параллельные плоскости и такие, что прямая лежит в плоскости , а прямая 
в плоскости . Направляющие векторы и будут направляющими векторами этих плоскостей.
Построим параллелепипед, сторонами которого являются векторы 
(рис. 3.13). Найдем его объем. Для этого вычислим смешанное произведение 
Таким образом, объем 
Теперь найдем площадь основания параллелепипеда (см. решение задачи 3.15):
, 
Расстояние между скрещивающимися прямыми будет равно
Ответ: 
Полезная формула. Если заданы две скрещивающиеся прямые
,
то расстояние между ними вычисляется по формуле
Здесь 
и – точки, через которые проходят прямые и 
соответственно, и – их направляющие векторы.
Замечание. Кратко опишем другой способ решения задачи 3.16. Сначала найдем уравнение плоскости 
(проделайте это самостоятельно). Оно будет
.
Расстояние равно расстоянию от точки до плоскости . Теперь все следует из формулы (1.5):
Список рекомендуемой литературы
Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1970.
Ефимов А. В., Поспелов А. С., Демидович Б. П. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 2003.
Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1. М.: Айрис-Пресс, 2002.
Содержание
1. ПЛОСКОСТЬ............................................................................................. 3
1.1. Основные сведения из теории........................................................... 3
1.2. Решение типовых задач..................................................................... 4
2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ............................................................... 13
2.1. Основные сведения из теории......................................................... 13
2.2. Решение типовых задач................................................................... 14
3. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ .................................. 20
3.1. Основные сведения из теории......................................................... 20
3.2. Решение типовых задач................................................................... 21
Список рекомендуемой литературы............................................................. 32