Сложение матриц. Умножение матрицы на число.
Определение 1. Суммой двух матриц K одинакового строения будем называть матрицу того же строения, элементы которой вычисляются по формуле для всех и . Обозначать матрицу будем так: .
Пример 1. Если и , то .
Определение 2. Произведением числа Kна матрицу K будем называть матрицу того же строения, элементы которой вычисляются по формуле для всех и . Обозначать матрицу будем так: или так: .
Пример 2. Если , то
Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число. Для любых матриц K и для любых чисел Kсправедливы равенства: 1. (коммутативность сложения); 2. (ассоциативность сложения); 3. ; 4. ; Матрицу далее будем обозначать так: и называть противоположной к ; 5 . ; 6. (дистрибутивность относительно сложения матриц); 7. (дистрибутивность относительно сложения чисел); 8. . Доказательство.Из определений 1 и 2 следует, что все матрицы в равенствах 1-8 имеют одинаковое строение на . Следовательно, нужно доказать, что в каждом из этих равенств в обеих частях на одинаковых местах стоят равные элементы. 1. для всех и , т.к. сложение чисел коммутативно. Следовательно, по определению 8 справедливо равенство . 2. для всех и , т.к. сложение чисел ассоциативно. Следовательно, по определению 8 справедливо равенство . 3. для всех и . Следовательно, по определению 8 справедливо равенство . 4. для всех и . Следовательно, по определению 8 справедливо равенство . 5. для всех и . Следовательно, по определению 8 справедливо равенство . 6. для всех и , т.к. сложение и умножение чисел обладают свойством дистрибутивности. Следовательно, по определению 8 справедливо равенство . 7. для всех и , т.к. сложение и умножение чисел обладают свойством дистрибутивности. Следовательно, по определению 8 справедливо равенство . 8. для всех и , т.к. умножение чисел ассоциативно. Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .
Умножение матриц. Определение 1.Пустьданы матрицы K и K ,причёмчисло столбцовматрицы равно числу строкматрицы . Произведениемматрицы на матрицубудем называть такую матрицу строения на , элементы которой вычисляются по формуле , или что то же самое для всех и . Обозначать матрицу будем так: .
Заметим, что как следует из определения 1, произведение строки длины на столбец высоты имеет смысл. В результате получаем матрицу строения 1 на 1, т.е. число: Пользуясь введёнными обозначениями элемент можно записать так: . Таким образом, если и , то
Пример 1. Если , , то
Замечание 1. Перемножать можно лишь такие матрицы, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Схематически это можно изобразить так: Замечание 2. Из определения следует, что даже если произведение матриц имеет смысл, то произведение может не иметь смысла. Например, . Однако, произведение не имеет смысла, т.к. . Даже если оба произведения имеют смысл и имеют одинаковое строение, то в общем случае . Например, . Замечание 3. В дальнейшем часто будем использовать введённое выше определение умножения матриц в случае, когда элементы одной матрицы – числа, а элементы другой – векторы, причём строение этих матриц согласовано так же, как в определении.
Пример 2. Например, . Пример 3.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|