Здавалка
Главная | Обратная связь

Сложение матриц. Умножение матрицы на число.



Определение 1. Суммой двух матриц K одинакового строения будем называть матрицу того же строения, элементы которой вычисляются по формуле для всех и . Обозначать матрицу будем так: .

 

Пример 1. Если и , то

.

 

Определение 2. Произведением числа Kна матрицу K будем называть матрицу того же строения, элементы которой вычисляются по формуле

для всех и . Обозначать матрицу будем так: или так: .

 

Пример 2. Если , то

 

 

Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число.

Для любых матриц K и для любых чисел Kсправедливы равенства:

1. (коммутативность сложения);

2. (ассоциативность сложения);

3. ;

4. ;

Матрицу далее будем обозначать так: и называть противоположной к ;

5 . ;

6. (дистрибутивность относительно сложения матриц);

7. (дистрибутивность относительно сложения чисел);

8. .

Доказательство.Из определений 1 и 2 следует, что все матрицы в равенствах 1-8 имеют одинаковое строение на . Следовательно, нужно доказать, что в каждом из этих равенств в обеих частях на одинаковых местах стоят равные элементы.

1. для всех и , т.к. сложение чисел коммутативно. Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .

2. для всех и , т.к. сложение чисел ассоциативно. Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .

3. для всех и . Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .

4. для всех и . Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .

5. для всех и . Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .

6.

для всех и , т.к. сложение и умножение чисел обладают свойством дистрибутивности. Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .

7.

для всех и , т.к. сложение и умножение чисел обладают свойством дистрибутивности. Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .

8. для всех и , т.к. умножение чисел ассоциативно. Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .

 

 

Умножение матриц.

Определение 1.Пустьданы матрицы K и K ,причёмчисло столбцовматрицы равно числу строкматрицы .

Произведениемматрицы на матрицубудем называть такую матрицу строения на , элементы которой вычисляются по формуле , или что то же самое для всех и .

Обозначать матрицу будем так: .

 

Заметим, что как следует из определения 1, произведение строки длины на столбец высоты имеет смысл. В результате получаем матрицу строения 1 на 1, т.е. число:

Пользуясь введёнными обозначениями элемент можно записать так:

.

Таким образом, если и , то

 

 

 

Пример 1. Если , , то

 

 

Замечание 1. Перемножать можно лишь такие матрицы, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Схематически это можно изобразить так:

Замечание 2. Из определения следует, что даже если произведение матриц имеет смысл, то произведение может не иметь смысла. Например, . Однако, произведение

не имеет смысла, т.к. .

Даже если оба произведения имеют смысл и имеют одинаковое строение, то в общем случае .

Например, .

Замечание 3. В дальнейшем часто будем использовать введённое выше определение умножения матриц в случае, когда элементы одной матрицы – числа, а элементы другой – векторы, причём строение этих матриц согласовано так же, как в определении.

 

Пример 2. Например, .

Пример 3.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.