Свойства умножения матриц.
Для любых матриц K , K , K и любого числа Kсправедливы равенства: 1. (ассоциативность умножения); 2. (дистрибутивность по первому сомножителю); 3. (дистрибутивность по второму сомножителю); 4. ; 5. ; 6. . Доказательство. 1. Из определения 1 следует, что произведения , , и имеют смысл и две последние матрицы имеют строение на . Следовательно, нужно доказать, что в равенстве 1 в обеих частях на одинаковых местах стоят равные элементы. , где . Теперь рассмотрим элемент матрицы , стоящий в - ой строке и - ом столбце: для всех . Следовательно, . 2. Из определения 1 следует, что матрицы , , в равенстве 2 определены и имеют одинаковое строение на . Следовательно, матрицы в обеих частях равенства 2 имеют одинаковое строение и нужно доказать, что в обеих частях на одинаковых местах стоят равные элементы. Рассмотрим элемент для всех . Здесь мы воспользовались ещё определением сложения матриц, коммутативностью, ассоциативностью и дистрибутивностью для чисел. Следовательно, по определению 8 справедливо равенство . Свойство 3 (дистрибутивность по второму сомножителю), которое доказывается аналогично свойству 2, предлагается доказать самостоятельно. 4. Из определения 1 и определения умножения матрицы на число следует, что матрицы , , определены и имеют одинаковое строение на . Следовательно, нужно доказать, что в обеих частях равенства 4 на одинаковых местах стоят равные элементы. для всех . Следовательно, . Здесь мы воспользовались ещё определением умножения матрицы на число, ассоциативностью и дистрибутивностью для чисел. Равенство , которое доказывается аналогично предыдущему, предлагается доказать самостоятельно. 5. Из определения 1 следует, что матрицы и определены и имеют одинаковое строение на . Следовательно, все матрицы в равенствах 5 имеют одинаковое строение и нужно доказать, что на одинаковых местах стоят равные элементы. для всех . Следовательно, . Аналогично доказывается равенство . 6. Из определения 1 следует, что обе матрицы и имеют одинаковое строение на , причём все элементы обеих матриц равны нулю. Следовательно, . Аналогично доказывается равенство . Замечание 1. Пусть K .Тогда в силу ассоциативности умножения матриц справедливо равенство . Таким образом, способ расстановки скобок в этом произведении безразличен, так же, как и способ расстановки скобок в произведении . Отсюда получаем, корректность следующего определения. Определение 2. Пусть K , N . . Замечание 2.Равенство 1 верно и в случае, если матрицы и имеют указанное выше строение, причём элементами одной из них являются векторы, а элементами двух других - числа. Аналогичные замечания справедливы и для остальных свойств. Например, , где R ,а - векторы.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|