Главная | Обратная связь

Простейшие свойства обратных матриц.

1. Если - квадратная неособенная матрица, то справедливо равенство: .

Доказывая необходимость теоремы 2, показали, что , откуда и получаем равенство .

2. Если - квадратная неособенная матрица, то для неё существует обратная матрица и .

Доказательство. Из определения обратной матрицы следует, что . Следовательно, по тому же определению 1 получаем: .

3. Если - квадратные неособенные матрицы одного порядка, то для матрицы существует обратная матрица и

.

Доказательство. Рассмотрим произведение этих матриц:

. Здесь мы воспользовались ассоциативностью умножения матриц и свойством единичной матрицы (свойства 1 и 5).

Аналогично проверяется, что произведение этих матриц в обратном порядке равно единичной матрице, что и доказывает равенство

.

4. Если - квадратная неособенная матрица, то существует матрица, обратная к матрице и .

Доказательство. Из определения обратной матрицы следует, что . Тогда по свойству 4 операции транспонирования получаем: . Следовательно, по определению обратной матрицы .

 

 

Теорема Крамера.

Теорема 2 §9 позволяет получить важные в теоретических приложениях формулы для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений.

 

Определение 1. Систему уравнений вида

(1)

будем называть системой из линейных алгебраических уравнений от неизвестных .

Числа будем называть коэффициентами системы, - свободными членами.

Матрицу будем называть матрицей системы (1), столбец - столбцом свободных членов системы (1), столбец - столбцом неизвестных.

Очевидно, произведение имеет смысл. Подсчитаем его: .

Из определения равенства матриц следует, что система (1) равносильна матричному равенству

(2).

Равенство (2) будем называть матричной записью системы (1). Если , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, то систему (1) будем называть квадратной.

Определение 2. Решением системы (1) будем называть упорядоченный набор чисел , удовлетворяющих равенствам (1), т.е. такой набор, для которого справедливы равенства

.

Этот упорядоченный набор чисел будем записывать в столбец .

Таким образом, - решение системы (1)

Определение 3. Систему (1), которая не имеет ни одного решения, будем назвать несовместной.

Определение 4.Системулинейных алгебраических уравнений, у которой столбец свободных членов нулевой, т.е. систему вида ,

называют системой линейных однородныхалгебраических уравнений.

 

Такая система всегда имеет по крайней мере одно решение – нулевое: . Это решение называют нулевым или тривиальным.

Определение 5.Пустьдана квадратная системалинейных алгебраических уравнений . Определитель матрицы этой системы будем называть определителем этой системы.

 

Теорема Крамера.

Пусть дана квадратная система линейных алгебраических уравнений (3) .

Если определитель этой системы отличен от нуля, то она имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле

Замечание. Квадратную систему линейных алгебраических уравнений, определитель которой не равен нулю, называют крамеровской.

Доказательство. 1. Покажем, что столбец есть решение системы (3). Действительно, .

2. Докажем, что это решение единственное. Пусть - решение системы (3), т.е. . Умножим последнее равенство слева на матрицу . В результате получим: , и теорема

доказана.

Следствие 1. Если - определитель системы (3) отличен от нуля, то её единственное решение может быть найдено по формулам

(4) для всех , где (здесь столбец свободных членов стоит на -м месте ).

Формулы (4) носят название формул Крамера.

Доказательство.

 

.Здесь мы воспользовались формулой для обратной матрицы, определением равенства матриц и свойством IXопределителей из которого следует, что .

Следствие 2. Если система (3) несовместна, то её определитель равен нулю.

Доказательство. Если бы определитель системы был отличен от нуля, то система имела бы решение, что противоречитусловию. Следовательно, .

Следствие 3. Если система (3) имеет более одного решения, то её определитель равен нулю.

Доказательство. Если бы определитель системы был отличен от нуля, то система имела быединственное решение, что противоречитусловию. Следовательно, .

Следствие 4.Если квадратная системалинейных алгебраических уравнений имеет ненулевое решение, то её определитель равен нулю.

Доказательство.Если бы определитель этой системы был отличен от нуля, то она имела бы единственное, т.е. нулевое решение. По условию она имеет ещё и ненулевое решение. Следовательно, по следствию 3 .

 

Пример. Решим системулинейных алгебраических уравнений . Найдём определитель этой системы: . Теперь найдём определители и . Следовательно, по формулам Крамера получаем: .

 

Ранг матрицы.

Определение 1.Пусть дана матрица и Nтакое, что , т.е. . Выберем натуральные числа

- номера строк и - номера столбцов. На пересечении выбранных строк и столбцов матрицы стоят числа, образующие квадратную матрицу порядка . Определитель этой матрицы называют минором - го порядка матрицы .

Другими словами, минором матрицы порядка называют определитель, матрица которого получается из матрицы в результате вычёркивания строк и столбцов.

Замечание. Конечно минор - го порядка матрицы в общем случае определён неоднозначно.

 

 

Пример 1. Пусть дана матрица . Выберем номера строк: и номера столбцов: :

. Определитель 3 – го порядка является минором 3 – го порядка матрицы . Конечно, можно считать, что матрица этого определителя получилась в результате вычёркивания из матрицы 2- ой строки и столбцов с номерами 1, 4 и 6.

Если бы мы вычеркнули из матрицы 4-ю строку и столбцы с номерами 4,5 и 6, то получили бы такой минор 3 –го порядка матрицы :

. У данной матрицы существуют миноры 1 – го, 2 – го , 3-го и 4 – го порядков.

Определение 2. Пусть дана ненулевая матрица строения . Натуральное число называют рангом матрицы и обозначают , если найдётся хотя бы один минор порядка матрицы , отличный от нуля, а все миноры больших порядков, если они существуют, раны нулю.

В этом случае, т.е. если , минор матрицы порядка , отличный от нуля, называют базисным. Строки и столбцы, в которых стоит базисный минор, называют базисными.

Ранг нулевой матрицы по определению считают равным числу 0, т.е. .

Замечание 1. Очевидно, если матрица строения , то .

Замечание 2. Базисный минор матрицы, базисные строки, базисные столбцы матрицы определены неоднозначно.

 

Пример 2. Пусть дана матрица . Очевидно, , т.к. минор второго порядка матрицы отличен от нуля. Все миноры 3 –го порядка равны нулю, т.к. содержат нулевую строку. Миноров порядка четыре и более у матрицы не существует. Минор - базисный минор матрицы . Базисные строки – 1-ая и 2 –ая. Базисные столбцы – 1-ый и 2 –ой.

Отметим, что . Следовательно, этот минор 2-го порядка также является базисным минором матрицы , а столбцы с номерами 3 и 4 также можно назвать базисными.

 

Определение 3. Матрицу вида

, где

для будем называть трапециевидной.

 

Нулевая матрица по определению считается трапециевидной.

Замечание. Последние нулевые строки в трапециевидной матрицы могут отсутствовать.

Пример 3. Матрицы , являются трапециевидными по определению.

 

Лемма 1. Ранг трапециевидной матрицы равен числу её ненулевых диагональных элементов, т.е.

, где .

Доказательство.Рассмотрим минор этой матрицы, стоящий в первых строках и первых столбцах этой матрицы:

. Порядок этого минора равен числу . Миноры большего порядка, если они существуют, равны нулю, т.к. содержат нулевую строку. Следовательно, по определению ранг этой матрицы равен числу .

 

Лемма 2. Если равны нулю все миноры матрицы порядка , то равны нулю и все миноры более высоких порядков, если они существуют.

Доказательство. Пусть у матрицы существуют миноры порядка . Возьмём любой из них и разложим его по элементам 1-ой строки:

, т.к. все определители в правой части равны нулю как миноры порядка матрицы .

Итак, мы доказали, что если равны нулю все миноры какого-то порядка матрицы , то равны нулю и все миноры порядка на единицу большего. Следовательно, равны нулю и все миноры порядка , если они существуют, и т.д.

Следствие. Если равны нулю все миноры порядка матрицы , то .

Доказательство. Действительно, ранг матрицы - это порядок ненулевого минора. Все миноры - го и более высоких порядков (если они существуют) равны нулю. Следовательно, порядок ненулевого минора, т.е. не превосходит числа .