Вопрос № 5. Интегральный признак Коши
Теорема 3 (интегральный признак Коши). Пусть дан ряд , члены которого удовлетворяют трём условиям: а) , т.е. исходный ряд с положительными членами; б) члены ряда монотонно убывают, т.е. ; в) общий член ряда стремится к нулю: . Пусть существует непрерывная, монотонно убывающая, определённая при функция f(x), такая что , т.е. . Тогда,если несобственный интеграл сходится, то ряд тоже сходится; если указанный интеграл расходится, то этот ряд расходится. Доказательство. Из условий теоремы следует при . Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линиями , , и осью 0х(рис.1). Разобьём отрезок точками и рассмотрим n криволинейных трапеций. Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции Из геометрического смысла интеграла площадь криволинейной трапеции . Заменим эту площадь суммой площадей n прямоугольников с единичными основаниями: , , причём , а . Из графика (рис. 1) следует: , т.е. . Рассмотрим два случая. 1) Пусть сходится, т.е. имеет конечный предел . Так как , то и . Итак, частичные суммы ряда ограничены N, тогда по теореме 2 (необходимый и достаточный признак сходимости ряда с положительными членами) ряд сходится, значит, существует . 2) Пусть интеграл расходится, т.е. неограниченно возрастает при . Тогда из неравенства следует, что последовательность неограниченно возрастает: , т.е. ряд расходится. Теорема доказана. Замечание 1. Теорема остаётся верной и тогда, когда её условия выполняются не для всех членов ряда, а лишь начиная с k-го ( ), в таком случае рассматривается интеграл .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|