Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом

1. В послекоммутационной схеме известными методами находят принужденные составляющие искомых токов и напряжений.

2. Составляют характеристическое уравнение и определяют его корни. Исходя из характера корней, записывают выражение для искомых свободных составляющих токов и напряжений через постоянные интегрирования. Переходные значения искомых функций рассматривают как сумму найденных значений принужденной и свободной составляющих данной функции, например,

i_t = i_пр + i_св. (5)

3. Рассчитывают токи до коммутация в индуктивных i_L(0_‑) и напряжения на емкостных u_C(0_‑) элементах, в соответствии с которыми по законам коммутации определяют независимые начальные условия: i_L(0_‑)= i_L(0₊); u_C(0_‑)= u_C(0₊).

4. Зависимые начальные условия находят, например, по уравнениям Кирхгофа для послекоммутационной схемы с учетом независимых начальных условий. Постоянные интегрирования вычисляют с помощью начальных условий для искомых функций и их производных. Найденные начальные условия подставляют в уравнение искомой переходной функции для t=0₊ и в уравнения его производных, записанных для t=0₊. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно постоянных интегрирования.

Рисунок 2 – RL-цепь. Переходные токи и напряжения

Уравнение по 2-му закону Кирхгофа:

;

; (6)

где u_R(t), u_L(t) – мгновенные напряжения на элементах;

E – ЭДС источника;

р – оператор Лапласа.

Корни характеристического уравнения и постоянная времени:

; (7)

. (8)

Ток через катушку индуктивности и напряжение на ней

; (9)

. (10)

Постоянная времени τ — время, в течение которого свободная составляющая тока i_L_св в цепи RL и свободная составляющая напряжения u_Ссв в цепи RC убывают по абсолютной величине в e=2,718 раза.

Постоянная времени может быть определена графически как величина подкасательной к экспоненте. Величина подкасательных к одной и той же экспоненте постоянная, поэтому τ называют постоянной времени. Постоянная времени зависит от конфигурации и параметров послекоммутационной схемы.

Таблица 2 – Постоянная времени

t	τ	2 τ	3 τ	4 τ	5 τ
1–exp(-t/τ)	0,632	0,865	0,95	0,982	0,993
exp(-t/τ)	0,308	0,135	0,05	0,018	0,007

7.6. Операторный метод

Основные понятия

Операторный метод как математический метод интегрирования линейных дифференцированных уравнений создан в 1862 г. М. Ващенко-Захарченко. Хевисайд в конце XIX веке применил для расчета переходных процессов.

преобразование Лапласа.

При использовании операторного метода действительные функции времени, называемые оригиналами, заменяют их операторными изображениями. Соответствие между оригиналом и изображением устанавливается с помощью интеграла Лапласа (преобразование Лапласа)

где - комплексное число, т.е. операторное изображение действительной функции, является функцией комплексного числа p.

В результате операции дифференцирования и интегрирования оригиналов заменяются алгебраическими операциями над их изображениями – происходит алгебраизация дифференцированных уравнений, т.е. дифференцированные уравнения для оригиналов переходят в алгебраические уравнения для их изображений. Решив полученные алгебраические уравнения в операторной форме относительно искомых величин, и произведя обратное преобразование операторного изображения в оригинал, получаем решение (интеграл) исходных дифференциальных уравнений.

Соответствие между оригиналом и изображением записывают так

Размерность изображения равна размерности оригинала, умноженной на размерность времени

По определению преобразование Лапласа, применимо начиная с момента времени t = 0₊ . Поэтому под ƒ(0), ƒ'(0), ƒ"(0) и т.д. будем понимать начальные значения функции и её производных при t = 0₊ .

обратное преобразование Лапласа.