Здавалка
Главная | Обратная связь

Дифференцирование степенных рядов.

Интегрирование степенных рядов.

Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: , то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:

 

 

Дифференцирование степенных рядов.

 

Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:

 

3)число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

Ряды Фурье.

( Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французский математик)

 

Тригонометрический ряд.

 

Определение. Тригонометрическим рядомназывается ряд вида:

или, короче,

Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.

 

Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2p, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2p.

Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-p; p], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x).

Определим коэффициенты этого ряда.

 

Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:

Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций.

Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-p; p], то существует интеграл

Такой результат получается в результате того, что .

Получаем:

 

Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от -p до p.

Отсюда получаем:

Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от -p до p.

Получаем:

 

Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an.

 

Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

существуют и называются коэффициентами Фурьедля функции f(x).

 

Определение. Рядом Фурьедля функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

 

Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.

 

Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2p и на отрезке

[-p;p] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок

[-p;p] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

 

Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-p;p].

 

Теорема. Если функция f(x) имеет период 2p, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-p;p] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна . При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

 

Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкойна отрезке [-p;p].

 

 

Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

 

Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.

Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].

 

y

f(x)

 

 

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

 

 

Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].

Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2p ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2p, то функция продолжается на интервал (b, a + 2p) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.

Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].

 

 

Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

 

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:

1)

2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.

3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

 

Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций.

 

Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2p, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:

 

Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:

 

 

Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:

 

 


 





©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.