 |
|
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1) Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
2) Теоремы сравнения.
3) Признаки Даламбера и Коши.
4) Интегральный признак сходимости ряда.
5) Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.
6) Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
7) Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса.
8) Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
9) Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.
10) Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
11) Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда.
12) Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
13) Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.
14) Разложение по степеням 
бинома 
.
15) Условия разложимости функции в ряд Тейлора.
16) Разложение по степеням функций 
.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1) Ряды 
и 
сходятся. Доказать, что ряд 
сходится, если 
Указание. Рассмотреть неравенства 
.
2) Ряд 
сходится. Доказать, что ряд 
тоже сходится. Показать, что обратное утверждение неверно.
3) Ряды и 
сходятся. Доказать, что ряд 
тоже сходится.
Указание. Доказать и использовать неравенство 
.
4) Ряды и сходятся. Доказать, что ряд 
тоже сходится.
5) Пусть ряд сходится и 
. Можно ли утверждать, что сходится ряд ?
Рассмотреть пример
и 
6) Пусть ряд 
сходится равномерно на отрезке 
. Доказать, что ряд 
также сходится равномерно на этом отрезке.
7) Может ли функциональный ряд на отрезке:
а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно,
б) сходиться абсолютно не сходиться равномерно?
Рассмотреть примеры:
а) 
, отрезок произвольный;
б) 
отрезок 
8) Показать, что функция
всюду непрерывна.
9) Доказать, что ряд 
сходится равномерно в интервале 
.Можно ли его почленно дифференцировать в этом интервале?
10) Доказать, что если ряд 
сходится в точке 
; то он сходится абсолютно 
.
РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1.Найти сумму ряда.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 2. Исследовать на сходимость ряд.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 3. Исследовать на сходимость ряд.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 5. Исследовать ряд на сходимость.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 7. Исследовать на сходимость ряд.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 8. Вычислить сумму ряда с точностью 
.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 9. Найти область сходимости ряда.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 10. Найти область сходимости ряда.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 11. Найти область сходимости ряда.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 12. Найти сумму ряда.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10 . 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 13. Найти сумму ряда.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25.
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 14. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 15. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 