Теоретические упражнения.

VI. РЯДЫ

Теоретические вопросы

1. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

2. Теоремы сравнения.

3. Признаки Даламбера и Коши.

4. Интегральный признак сходимости ряда.

5. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

6. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящегося ряда.

7. Понятие равномерной сходимости.

8. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

9. Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.

10. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

11. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда.

12. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

13. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

14. Разложение по степеням бинома .

15. Условие разложимости функции в ряд Тейлора.

16. Разложение по степеням функций , , , .

Теоретические упражнения.

1. Ряды и сходятся. Доказать, что ряд сходится, если .

У к а з а н и е. Рассмотреть неравенства .

2. Ряд сходится. Доказать, что ряд тоже сходится. Показать, что обратное утверждение неверно.

3. Ряды и сходятся. Доказать, что ряд тоже сходится.

У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство .

4. Ряды и сходятся. Доказать, что ряд тоже сходится.

5. Пусть ряд сходиться и . Можно ли утверждать, что сходиться ряд ?

Рассмотреть пример и .

6. Пусть ряд сходиться равномерно на отрезке . Доказать, что ряд так же сходиться равномерно на этом отрезке.

7. Может ли функциональный ряд на отрезке:

а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно,

б) сходиться абсолютно и не сходиться равномерно?

Рассмотреть примеры:

a) , отрезок произвольный;

б) , отрезок .

8. Показать, что функция всюду непрерывна.

9. Доказать, что ряд сходится равномерно в интервале . Можно ли его дифференцировать в этом интервале?

10. Доказать, что если ряд сходиться в точке , то он сходиться абсолютно .

Расчетные задания.

Задача 1.Найти сумму ряда.

1.1. . 1.2. .

1.3. . 1.4. .

1.5. . 1.6. .

1.7. . 1.8. .

1.9. . 1.10. .

1.11. . 1.12 .

1.13 . 1.14 .

1.15. . 1.16 .

1.17. . 1.18. .

1.19. . 1.20. .

1.21. . 1.22. .

1.23. . 1.24. .

1.25 . 1.26. .

1.27. . 1.28. .

1.29. . 1.30. .

1.31. .

Задача 2.Найти сумму ряда.

2.1. 2.2

2.3. 2.4. .

2.5. . 2.6. .

2.7. 2.8.

2.9. . 2.10. .

2.11. . 2.12. .

2.13. . 2.14. .

2.15. . 2.16. .

2.17. . 2.18. .

2.19. . 2.20. .

2.21. . 2.22. .

2.23. . 2.24. .

2.25. . 2.26. .

2.27. . 2.28. .

2.29. . 2.30. .

2.31. .

Задача 1.Исследовать на сходимость ряд.

3.1. . 3.2. .

3.3. . 3.4. .

3.5. . 3.6. .

3.7. . 3.8. .

3.9. . 3.10. .

3.11. . 3.12. .

3.13. . 3.14. .

3.15. . 3.16. .

3.17. . 3.18. .

3.19. . 3.20. .

3.21. . 3.22. .

3.23. . 3.24. .

3.25. . 3.26. .

3.27. . 3.28. .

3.29. . 3.30. .

3.31. .

Задача 4.Исследовать на сходимость ряд.

4.1. . 4.2. .

4.3. . 4.4. .

4.5. . 4.6. .

4.7. . 4.8. .

4.9. . 4.10. .

4.11. . 4.12. .

4.13. . 4.14 .

4.15. . 4.16. .

4.17. . 4.18. .

4.19. . 4.20. .

4.21. . 4.22. .

4.23. . 4.24. .

4.25. . 4.26. .

4.27. . 4.28. .

4.29. . 4.30. .

4.31. .

Задача 5.Исследовать на сходимость ряд.

5.1. . 5.2. .

5.3. . 5.4. .

5.5. . 5.6. .

5.7. . 5.8. .

5.9. . 5.10. .

5.11. . 5.12. .

5.13. . 5.14. .

5.15. . 5.16. . ?

5.17. . 5.18. .

5.19. . 5.20. .

5.21. . 5.22. .

5.23. . 5.24. .

5.25. . 5.26. .

5.27. . 5.28. .

5.29. . 5.30. .

5.31. .

Задача 6.Исследовать на сходимость ряд.

6.1. . 6.2. .

6.3. . 6.4. .

6.5. . 6.6. .

6.7. . 6.8. .

6.9. . 6.10. .

6.11. . 6.12. .

6.13. . 6.14. .

6.15. . 6.16. .

6.17. . 6.18. .

6.19. . 6.20. .

6.21. . 6.22. .

6.23. . 6.24. .

6.25. . 6.26. .

6.27. . 6.28. .

6.29. . 6.30. .

6.31. .

Задача 7.Исследовать на сходимость ряд.

7.1. . 7.2. .

7.3. . 7.4. .

7.5. . 7.6. .

7.7. . 7.8. .

7.9. . 7.10. .

7.11. . 7.12. .

7.13. . 7.14. .

7.15. . 7.16. .

7.17. . 7.18. .

7.19. . 7.20. .

7.21. . 7.22. .

7.23. . 7.24. .

7.25. . 7.26. .

7.27. . 7.28. .

7.29. . 7.30. .

7.31. .

Задача 8.Исследовать на сходимость ряд.

8.1. . 8.2. .

8.3. . 8.4. .

8.5. . 8.6. .

8.7. . 8.8. .

8.9. . 8.10. .

8.11. . 8.12. .

8.13. . 8.14. .

8.15. . 8.16. .

8.17. . 8.18. .

8.19. . 8.20. .

8.21. . 8.22. .

8.23. . 8.24. .

8.25. . 8.26. .

8.27. . 8.28. .

8.29. . 8.30. .

8.31. .

Задача 9.Вычислить сумму ряда с точностью .

9.1. . 9.2. .

9.3. . 9.4. .

9.5. . 9.6. .

9.7. . 9.8. .

9.9. . 9.10. .

9.11. . 9.12. .

9.13. . 9.14. .

9.15. . 9.16. .

9.17. . 9.18. .

9.19. . 9.20. .

9.21. . 9.22. .

9.23. . 9.24. .

9.25. . 9.26. .

9.27. . 9.28. .

9.29. . 9.30. .

9.31. .

Задача 10.Доказать справедливость равенства. (Ответом служит число , получаемое при применении признака Даламбера или признака Коши.)

10.1. . 10.2. .

10.3. . 10.4. .

10.5. . 10.6. .

10.7. . 10.8. .

10.9. . 10.10. .

10.11. . 10.12. .

10.13. . 10.14. .

10.15. . 10.16. .

10.17. . 10.18. .

10.19. . 10.20. .

10.21. . 10.22. .

10.23. . 10.24. .

10.25. . 10.26. .

10.27. . 10.28. .

10.29. . 10.30. .

10.31. .

Задача 11.Найти область сходимости функционального ряда.

11.1. . 11.2. .

11.3. . 11.4. .

11.5. . 11.6. .

11.7. . 11.8. .

11.9. . 11.10. .

11.11. . 11.12. .

11.13. . 11.14. .

11.15. . 11.16. .

11.17. . 11.18. .

11.19. . 11.20. .

11.21. . 11.22. .

11.23. . 11.24. .

11.25. . 11.26. .

11.27. . 11.28. .

11.29. . 11.30. .

11.31. .

Задача 12.Найти область сходимости функционального ряда.

12.1. . 12.2. .

12.3. . 12.4. .

12.5. . 12.6. .

12.7. . 12.8. .

12.9. . 12.10. .

12.11. . 12.12. .

12.13. . 12.14. .

12.15. . 12.16. .

12.17. . 12.18. .

12.19. . 12.20. .

12.21. . 12.22. .

12.23. . 12.24. .

12.25. . 12.26. .

12.27. . 12.28. .

12.29. . 12.30. .

12.31. .

Задача 13.Найти область сходимости функционального ряда.

13.1. . 13.2. .

13.3. . 13.4. .

13.5. . 13.6. .

13.7. . 13.8. .

13.9. . 13.10. .

13.11. . 13.12. .

13.13. . 13.14. .

13.15. . 13.16. .

13.17. . 13.18. .

13.19. . 13.20. .

13.21. . 13.22. .

13.23. . 13.24. .

13.25. . 13.26. .

13.27. . 13.28. .

13.29. . 13.30. .

13.31. .

Задача 14.Найти область сходимости функционального ряда.

14.1. . 14.2. .

14.3. . 14.4. .

14.5. . 14.6. .

14.7. . 14.8. .

14.9. . 14.10. .

14.11. . 14.12. .

14.13. . 14.14. .

14.15. . 14.16. .

14.17. . 14.18. .

14.19. . 14.20. .

14.21. . 14.22. .

14.23. . 14.24. .

14.25. . 14.26. .

14.27. . 14.28. .

14.29. . 14.30. .

14.31. .

Задача 15.Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке . При каких абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит ?