Решение ищем в виде

i(t) = + .

1. Определение принужденной составляющей .

1.1. В после коммутационной схеме известными методами (закон Ома, законы Кирхгофа, методы контурных токов и узловых напряжений и т.д.) находят принужденные составляющие искомых токов или напряжений ( , ).

2. Определение свободной составляющей .

2.1. Составляем дифференциальное уравнение цепи по первому и второму законам Кирхгофа. Записываем полученную систему относительно искомого тока i_к.

Порядок n уравнения определяется конфигурацией цепи и характером ее элементов.

– свободный член, определяемый заданными источниками электрической энергии.

2.2. Определяем однородное дифференциальное уравнение.

2.3. Определяем характеристическое уравнение, из которого находим корни.

В случае если корни простые имеем

где A_ks – постоянные интегрирования, определяемые из физических начальных условий.

2.4. Определение постоянных интегрирования.

Рассчитываем для докоммутационной схемы i_L(-0) и u_c(-0), и в соответствии с правилами коммутации, устанавливаем

i_L(-0) = i_L(+0); u_c(-0) = u_c(+0).

Определяем значения тока i_k и всех его производных до (n-1)-й включительно для момента времени t = +0. Для этого используем уравнения цепи и подставляем в них найденные начальные значения u_c(+0) и i_L(+0).

Имея решения для тока i_kв виде

и для его производных

где m = 1, 2…(n-1) и подставляя слева от уравнений найденные значения i_k и его производных при t = (+0), а в выражения справа t = 0, получим n – алгебраических уравнений с n неизвестными величинами A_ks, из которых находим последние.

Полученные постоянные А подставляем в выражение для свободной составляющей тока, а затем записываем результат в виде

i(t) = + .

1.4. Переходные процессы в цепи R-L

1.4.1. Включение цепи R-L под постоянное напряжение

Пусть в момент времени t=0 источник э.д.с. Е подключается к цепи R-L как это показано на рис. 1.2. Найдем закон изменения во времени тока i(t).

Решение ищем в виде

i(t) = + .

1. Определим принужденную составляющую тока .

2. Определим свободную составляющую тока .

; La+R = 0; откуда корень характеристического уравнения ;

;

или, учитывая что

Для определения А рассмотрим полученное выражение для i(t) в момент времени t =+0, используя первое правило коммутации i_L(+0) = i_L(-0)= 0

тогда ;

[A]

;

; .

Графики изменения тока и напряжения на индуктивности представлены на рис. 1.3.

Физический смысл постоянной времени

, ,

где t - это время, за которое напряжение изменяется в е раз. Время переходного процесса устанавливается, как правило, равным (3¸5)t.

Геометрический смысл постоянной времени

_t₌₀ = _t₌₊₀ =

½_t₌₊₀

Постоянная времени t определяется величиной отрезка, ограниченного началом координат и точкой пересечения касательной с осью времени (рис. 1.4). В случае, если построение касательной в момент времени затруднено, то можно воспользоваться методом определения t по касательной в любой точке характеристики как это показано на рис 1.5.

Известно что tg(180 - a) = - tga, т.е tgb = - tga; , т.е t₁ = t.

Следует отметить, что в одной и той же электрической цепи время переходного процесса напряжения и тока в любой ее ветви – величина одинаковая.

1.4.2. Короткое замыкание цепи R – L

Пусть в момент времени t=0 происходит переключение ключа К из положения 1 в положение 2. Найдем закон изменения во времени тока i(t). Решение ищем в виде i(t) = + .

1. .

где .

При t = 0 i(+0) = i(-0) =

. .

Тогда закон изменения тока во времени найдем как

Закон изменения напряжения на индуктивности отыщем продифференцировав найденное выражение для тока

;

Графики изменения тока i(t) и напряжения u_L(t) представлены на рис. 1.7.

1.4.3. Отключение цепи R-L от источника

Пусть в момент времени t=0 происходит отключение цепи R-L от источника постоянного напряжения (рис. 1.8). Найдем изменение тока i(t). Для этого составим уравнение для послекоммутационной цепи

Решение ищем в виде i(t) = + .

1. .

2. ,

где ; ; , откуда найдем закон изменения тока

Закон изменения напряжения на активном сопротивлении R₀ можно найти как

Рассмотрим важный для практики случай отключения индуктивной катушки от источника постоянного напряжения. Напряжение на зажимах катушки в момент времени t=+0 можно определить из предыдущего выражения

u_R₀½_t₌₊₀ = .

Пусть U₀ = 100 В, R = 10 Ом, R₀ = 1^.10³ Ом. Тогда на зажимах катушки возникает напряжение U_R₀_½_t₌₊₀ = 10⁴ = 10 (кВ).

1.4.4. Включение цепи R-L под синусоидальное напряжение

Пусть в момент времени t=0 происходит подключение цепи R-L к источнику синусоидального напряжения. Найдем изменение во времени тока i(t). Для этого составим уравнение

Решение ищем в виде i(t) = + .

1. Для нахождения принужденной составляющей воспользуемся комплексным методом.

где , а .

2. Определим . Для этого запишем однородное дифференциальное уравнение и соответствующее ему характеристическое

La + R = 0,

откуда , а . Тогда

i(t) = + = ,

при t = +0 i(-0) = i(+0) = 0.

, откуда . Окончательно получим решение в виде

Если в момент коммутации t = 0, выполняется условие , то принужденная составляющая

; , и, следовательно, стремится к I_m. Если при этом t велико, то есть R

стремится к нулю, затухает медленно, то при y_i » p

Такая ситуация представлена на рис 1.11. При или свободный ток не наступает и сразу устанавливается принужденный режим. Следовательно, изменяя угол сдвига фаз или начальные фазы тока, напряжения можно добиться ситуации, когда переходного режима не будет.