Здавалка
Главная | Обратная связь

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов

Знакопеременные ряды: понятия абсолютной и условной сходимости,

Признак абсолютной сходимости, свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Числовой ряд , члены которого имеют произвольные знаки (+), (−) называется знакопеременным рядом. знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременного ряда, т.е. не всякий знакопеременный ряд является знакочередующимся. Например, ряд − знакопеременный, но не являющийся знакочередующимся рядом.

В знакопеременном ряде членов как со знаком (+), так и со знаком (−) бесконечно много. Если это не выполняется, например, ряд содержит конечное число отрицательных членов, то их можно отбросить и рассматривать ряд, составленный только из положительных членов, и наоборот.

Определение1. остаток ряда (можно обойтись и без него, но на случай «если спросят» советую)

Если числовой ряд сходится и его сумма равна S, а частичная сумма равна Sn , то называется остатком ряда, причём , т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0. Рассмотрим сходящийся знакочередующийся ряд как частный случай знакопеременного ряда , где . Запишем его в виде , тогда по признаку Лейбница («А что это за признак?»-спросит экзаменатор.) ; так как , то , т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0.

Для знакопеременных рядов вводятся понятия абсолютной и условной сходимости.

Определение2.

Ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .

Определение3.

Если числовой ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Теорема: достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.

Знакопеременный ряд сходится, причём абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .

Доказательство.

Обозначим через частичную сумму ряда : , а через − частичную сумму ряда : . Обозначим через сумму всех положительных членов, а через сумму абсолютных величин всех отрицательных членов, входящих в . Очевидно, что .

По условию теоремы ряд сходится, тогда существует , и так как последовательность − монотонно возрастающая и неотрицательная, то . ОЧЕВИДНО (НУ ОЧЕНЬ ВИДНО), что , тогда последовательности и являются монотонно возрастающими и ограниченными, причем их пределы равны и . Тогда Значит, исходный знакопеременный ряд сходится и сходится абсолютно.

Теорема доказана.

 

Заметьте, что эта теорема даёт только достаточное условие сходимости знакопеременных рядов. Обратная теорема неверна, т.е. если знакопеременный ряд сходится, то не обязательно, что сходится ряд, составленный из модулей (он может быть как сходящимся, так и расходящимся).

 

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов

Свойство1. Если ряд абсолютно сходится, то он абсолютно сходится при любой перестановке его членов, при этом сумма ряда не зависит от порядка расположения членов. Если − сумма всех его положительных членов, а − сумма всех абсолютных величин отрицательных членов, то сумма ряда равна .

Свойство2. Если ряд абсолютно сходится и , то ряд также абсолютно сходится.

Свойство3. Если ряды и абсолютно сходятся, то ряды также абсолютно сходятся.

Свойство4. (теорема Римана). Если ряд условно сходится, то какое бы мы не взяли число А, можно переставить члены данного ряда так, чтобы его сумма оказалась в точности равной А; более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы после этого он расходился.

 

 





©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.