Простейшие тригонометрические уравнения.
Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры ( метод замены переменной и подстановки ). 2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 , П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 , 1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7. Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) = = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) , 2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 , tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 , . . . . . . . . . . 5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное. Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид: 6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
cos 8x = 0 ,
8x = p / 2 + pk ,
x = p / 16 + pk / 8 .
7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 . Таким образом, решение даёт только первый случай.
Областью значений функции y=cos x (см. рис. 2) является отрезок . На отрезке функция непрерывна и монотонно убывает. Рис. 2 Значит, на отрезке определена функция, обратная функции y=cos x. Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают y=arccos x [2]. Определение Aрккосинусом числа а, если |а| 1, называют угол, косинус которого принадлежит отрезку ; его обозначают arccos а. Таким образом, arccos а есть угол, удовлетворяющий следующим двум условиям: сos (arccos a)=a, |а| 1; 0≤ arccos a ≤π. Например, arccos , так как cos и ; arccos , так как cos и . Функция y = arccos x (рис. 3) определена на отрезке , областью ее значений является отрезок . На отрезке функция y=arccos x непрерывна и монотонно убывает от π до 0 (поскольку y=cos х – непрерывная и монотонно убывающая функция на отрезке ); на концах отрезка она достигает своих экстремальных значений: arccos(–1)= π, arccos 1= 0. Рассмотрим функцию y=sin х (рис. 6), которая на отрезке [–π/2;π/2] возрастающая, непрерывная и принимает значения из отрезка [–1; 1]. Значит, на отрезке [– π/2; π/2] определена функция, обратная функции y=sin x.
Рис. 6 Эту обратную функцию называют арксинусом и обозначают y=arcsin x. Введем определение арксинуса числа а [4]. Арксинусом числа а, если называют угол (или дугу), синус которого равен числу а и который принадлежит отрезку [–π/2; π/2]; его обозначают arcsin а. Таким образом, arcsin а есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: sin (arcsin a)=a, |a| ≤1; –π/2 ≤ arcsin а ≤ π/2. Например, , так как sin и [– π/2; π/2]; arcsin , так как sin = и [– π/2; π/2]. Функция y=tg x на промежутке принимает все числовые значения: E (tg x)= . На этом промежутке она непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на промежутке определена функция, обратная функции y = tg x. Эту обратную функцию называют арктангенсом и обозначают y = arctg x [4]. Арктангенсом числа а называют угол из промежутка , тангенс которого равен а. Таким образом, arctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: tg (arctg a) = a и 0 ≤ arctg a ≤ π. Функция y = ctg x на промежутке принимает все числовые значения из промежутка . Область ее значений совпадает с множеством всех действительных чисел. В промежутке функция y = ctg x непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на этом промежутке определена функция, обратная функции y = ctg x. Функцию, обратную котангенсу, называют арккотангенсом и обозначают y = arcctg x [4]. Арккотангенсом числа а называют угол, принадлежащий промежутку , котангенс которого равен а. Таким образом, аrcctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: ctg (arcctg a)=a и 0 ≤ arcctg a ≤ π.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|