 |
|
Свойства сходящихся радов
Ряды
Числовые ряды
Определение 1.Пусть a1 , a2, …, aп , …- заданная числовая последователь-ность. Выражение
a1 + a2+…+ aп + …= 
(9.1)
называется числовым рядом.
При этом числа 
будем называть членами ряда, аn – общим членом ряда.
Определение 2. Конечные суммы 
,
……………..
……………..
называются частичными суммамиряда (9.1).
Определение 3. Если существует конечный предел последовательности
частичных сумм 
(здесь и в дальнейшем под n → ∞ будем понимать n → +∞), то ряд называется сходящимся, а число S - суммойряда.
=Sлибо 
Если не существует конечного предела последовательности частичных сумм 
, то ряд называется расходящимся.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член an стремился к нулю, т.е. 
.
Доказательство. Рассмотрим частичные суммы и 
. Тогда 
. Для обеих частей этого равенства перейдём к пределу при 
.
Замечание. Данное условие не является достаточным, т.е. обратное утверждение не верно.
Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд
, 
,
является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.
Достаточное условие расходимости числового ряда
Если 
или этот предел не существует, то ряд расходится.
Свойства сходящихся радов
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2) Рассмотрим два ряда и 
, где λ – постоянное число.
Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна λ S. (λ ¹ 0)
3) Рассмотрим два ряда и 
. Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд 
, где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.
Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соот-ветственно S и s, то ряд 
тоже сходится и его сумма равна S +s.
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.