Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов
Необходимый признак сходимости в общем случае не позволяет судить о том, сходится ли данный ряд или же нет. Сходимость ряда во многих случаях устанавливается с помощью так называемых достаточных признаков сходимости. Рассмотрим некоторые из этих признаков для частного вида рядов. В этом и следующем разделах будут рассматриваться ряды , все члены которых неотрицательны an≥ 0. Такие ряды называются положительными. Исследованиесходимости (расходимости) положительного ряда удобно проводить путём сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы. Теорема 1.Пусть даны два положительных ряда и (an, bn ³ 0 ) и выполняется неравенство an £ bn при любом n, тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда. Доказательство. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n sn < M, где М – некоторое число. Но т.к. an £ bn, то Sn £ sn то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для его сходимости. Второе утверждение теоремы доказывается методом от противного. Пример 1. Исследовать на сходимость ряд Т.к. , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд . Пример 2. Исследовать на сходимость ряд Т.к. , а ряд сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится. Теорема 2(предельный признак сравнения). Если для положительных рядов и существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды и одновременно сходятся или расходятся. На практике при применении теории сравнения часто в качестве «эталонных» рядов используются следующие ряды, сходимость (расходимость) которых известна: 1) расходящийся гармонический ряд ; 2) обобщённый гармонический ряд ; 3) геометрический ряд . Пример 1.Исследовать на сходимость ряд . Решение. Сравним данный ряд со сходящимся рядом ,общими членами этих рядов являются и . Применяем предельный признак сравнения . Ряд сходится. Пример 2.Исследовать на сходимость ряд . Решение. Сравним данный ряд с расходящимся рядом , применяем предельный признак сравнения . Ряд расходится. Пример 3.Исследовать на сходимость ряд . Решение. Сравним данный ряд с расходящимся рядом , применяем предельный признак сравнения . Ряд расходится. Теорема 3.Пусть даны два положительных ряда и (an, bn ³ 0 ) и выполняется неравенство при любом n, тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда. Признак Даламбера Пусть для положительного ряда существует предел . Тогда ряд сходится при l < 1 и расходится при l >1. Доказательство. Пусть , причём , тогда . Положим, что общий член сходящегося ряда , т.е. , тогда по теореме 3 из сходимости ряда следует сходимость . Если , тогда , а это означает, что элементы ряда возрастают и по достаточному условию расходимости ряд расходится. Пример 1.Исследовать на сходимость ряд . Решение. По признаку Даламбера . Ряд сходится. Пример 2.Исследовать на сходимость ряд . Решение. По признаку Даламбера . Ряд расходится. Пример 3.Исследовать на сходимость ряд . Решение. По признаку Даламбера . Ряд сходится. Пример 4.Исследовать на сходимость ряд . Решение. По признаку Даламбера = . Ряд сходится. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|