Здавалка
Главная | Обратная связь

Радикальный признак Коши



Пусть для положительного ряда (an ≥ 0) существует предел .

Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если ,l < 1 то данный ряд сходится;

б) если ,l > 1 то данный ряд расходится.

Доказательство. 1) Пусть , тогда . Рассмотрим ряд с общим членом , т.е. - этот ряд является сходящимся ( ), по признаку сравнения рядов и ряд сходится.

2) Пусть , тогда и общий член ряда не стремится к нулю. Следовательно, ряд расходится.

Пример.Исследовать на сходимость ряд .

Решение. По радикальному признаку Коши

. Ряд сходится.

Интегральный признак Коши

Если члены положительного ряда могут бытьпредставлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1,+∞) функции f(x) так, что , , …, ,…, то ряд несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y = f(x) , основанием которой служит отрезокоси Ох от х = 1, до х = n. (рис. 9.1)

Рис. 9.1.

Построим входящие и выходящие прямоугольники с основаниями [1,2], [2,3], …, [n-1,n]. Учитывая геометрический смысл определённого интеграла, запишем

+ +…+ < < + +…+

или a2 + a3 +…+ an < < a1 + a2 + …+ an-1 . Если ввести частную сумму ряда , то предыдущее неравенство запишется в виде

< < .

Откуда следует, что если интеграл сходится, т.е. = А , то имеет место неравенство < < = A, т.е. . Таким образом, последовательность частичных сумм ограничена и имеет предел.

С другой стороны, если несобственный интеграл расходится ( ), то и интеграл неограниченно возрастает при . Учитывая, что , получаем, что при , т.е. ряд расходится.

Пример 1.Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Рассмотрим функцию , для которой . По интегральному признаку =

= .

Пример 2.Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Рассмотрим функцию , для которой . По интегральному признаку =

= .

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.