Разложение функций в степенные ряды ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Для приложений, связанных с выражением закономерности y = f(x) (математической модели) в виде простейших зависимостей, важным является представление этой функции в виде суммы (суперпозиции) степенных слагаемых. Или вообще в виде суммы степенного ряда. Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда (9.4) В выражение (9.4) подставим значение х = х0, получим а0 = f(x0). Найдём производные функции f(x) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - В этих соотношениях для производных положим х = х0 , тогда , , - - - - - - - - - - - - . Таким образом, разложение функции в степенной ряд имеет вид (9.5) Этот ряд называется рядом Тейлора, если в ряде Тейлора х0 = 0, то ряд называется рядом Маклорена, он имеет вид (9.6) Можно доказать, что если функция представляется в виде степенного ряда, то это представление единственно. Для того, чтобы функция была бы представлена в виде суммы ряда Тейлора она должна быть дифференцирована бесконечное число раз в точке х = х0 . Рассмотрим частичную сумму ряда Тейлора , (9.7) она называется многочленом Тейлора. Тогда функция f(x) может быть представлена суммой , где называется остаточным членом ряда Тейлора. Разложение основных функций в степенные ряды: , , , , , , , .
Ряды Фурье Другой универсальной математической моделью является представление функциональной зависимости в виде суммы (наложения) простейших гармоник. Такое модельный подход применяется при изучении разнообразных периодических процессов, т.е. повторяющихся через определённый промежуток времени. В этом случае целесообразно разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, в так называемый тригонометрический ряд. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида , (9.7) где называются коэффициентами тригонометрического ряда. Если ряд (9.7) сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом , т.к. функции и также периодические функции с периодом . Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-π; π], а его сумма равна . Определим коэффициенты этого ряда. Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами: Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-p; p], то существует интеграл Такой результат получается в результате того, что . Получаем: . Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от -p до p.
Отсюда получаем: Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от -p до p. Получаем: Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты существуют и называются коэффициентами Фурьедля функции f(x). Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье. Пример.Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом T = 2p на отрезке [-p; p]. Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде: , где
Получаем: .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|