Здавалка
Главная | Обратная связь

Разложение функций в степенные ряды



Для приложений, связанных с выражением закономерности y = f(x) (математической модели) в виде простейших зависимостей, важным является представление этой функции в виде суммы (суперпозиции) степенных слагаемых. Или вообще в виде суммы степенного ряда.

Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда

(9.4)

В выражение (9.4) подставим значение х = х0, получим а0 = f(x0).

Найдём производные функции f(x)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

В этих соотношениях для производных положим х = х0 , тогда

,

,

- - - - - - - - - - - -

.

Таким образом, разложение функции в степенной ряд имеет вид

(9.5)

Этот ряд называется рядом Тейлора, если в ряде Тейлора х0 = 0, то ряд называется рядом Маклорена, он имеет вид

(9.6)

Можно доказать, что если функция представляется в виде степенного ряда, то это представление единственно. Для того, чтобы функция была бы представлена в виде суммы ряда Тейлора она должна быть дифференцирована бесконечное число раз в точке х = х0 .

Рассмотрим частичную сумму ряда Тейлора

, (9.7)

она называется многочленом Тейлора. Тогда функция f(x) может быть представлена суммой , где называется остаточным членом ряда Тейлора.

Разложение основных функций в степенные ряды:

,

,

,

,

,

,

,

.

 

Ряды Фурье

Другой универсальной математической моделью является представление функциональной зависимости в виде суммы (наложения) простейших гармоник. Такое модельный подход применяется при изучении разнообразных периодических процессов, т.е. повторяющихся через определённый промежуток времени. В этом случае целесообразно разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, в так называемый тригонометрический ряд.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

, (9.7)

где называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (9.7) сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом , т.к. функции и также периодические функции с периодом .

Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-π; π], а его сумма равна .

Определим коэффициенты этого ряда.

Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:

Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-p; p], то существует интеграл

Такой результат получается в результате того, что

.

Получаем: .

Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от -p до p.

 

Отсюда получаем:

Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от -p до p.

Получаем:

Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

существуют и называются коэффициентами Фурьедля функции f(x).

Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

Пример.Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом T = 2p на отрезке [-p; p].

Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:

,

где

Получаем: .

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.