 |
|
Лекция №2 Вероятность событий
1. Элементы комбинаторики.
Комбинаторика изучает количества различных комбинаций, которые можно составить из элемента произвольно конечного множ-ва.
Перестановками-называется комбинации составленные из одних и тех же n различных элеметнов, которые отличаются между собой только порядком расположения элементов. Общее число перестановок равно Pn!=n!=1*2*3*4…n
Пример: х={1,2,3}=> перестановки (123), (132), (213), (231), (312), (321). Р3=3!
Опр2. сочетанием-называется комбинации составленные из n различных элементов по m элементов которые отличаются между собой хотя бы 1 элементом. C n m = n!/m!(n-m)!
Замечание: в сочетание порядок расположение элементов не важен.
Пусть Х={1,2,3,4}, тогда сочетание по 2 элемента: (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4). С из 4 по 2….=6
Опр3. размещениями наз-ся комбинации составленные из n различных элементов по m, которые отличаются составом элементов, либо их порядком. Общее число размещений A n m =n!/(n -m)!
#:Х={1,2,3}=>размещение по 2 элемента: (1,2),(1,3,),(2,1),(3,1),(2,3,),(3,2)
Аиз3 по 2 = 3!/1!=6
Опр4. (геометрическое определение вероятности) если g часть области G, то при бросании на удачу точки в область G вероятность ее попадания в часть g=P=mes g/mes G,где символ mes означает мера (в одномерном варианте длина, двумерном-площадь, в трехмерном - объем)
Замечание. При геометрическом определении вероятности полагают:
1. пространство элементарных событий (Ω=G)
2. интересующее событие A=g
опр.5 (условная вероятность) вероятность события А, найденное при условии, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события А, и обозначается символом P(A/B)
НАПРИМЕР: в урне 3б и 3ч шара, из упны дважды вынимают по 1 шару, не возращая их обратно. Найти вероятность того, что вынутый шар будет б, при условии, что 1-ый вынутый шар оказался ч.
Решение! Искомое условная вероятность Р(АlВ) будет = вероятности извлечения из упны б шара при втором испытании. Применяя классич.опред.вероятности будем иметь
опр6. (независимость событий) 2 события А и В называются независимыми если вероятности появления каждого из них не зависит от того произошло ли другое событие или нет, т.е. если: P(A/B)=P(A), P(B/A)=P(B). При этом вероятности P(A) и P(B) называют безусловными вероятностями в противном случае события называют независимыми.
Замечание. зависимость и независимость событий всегда взаимно т.е. если А зависит от В то и В зависит от А, и наоборот. Кроме того, если события А и В независимы то независимы каждые 2 события А и В, А и В, А и В
Замечание. На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи.
#: испытание одновременное побрасв. 2-х монет
Событие А={ГI}(выпадение Г на 2-ой)
Событие В={ГII}
Появление Г на одной из монет никак не влияет на вероятность появления Г на другой. События А и В независимы.
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух событий А и В = сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
Следствие: если события А и В не совместны то P(A+B)=P(A)+P(B)
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии что первое событие уже наступило P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B)
Следствие. Если события А и В независимы то Р(АВ)=Р(А)*Р(В)
Лекция 3Формула полной вероятности, формула Байеса.
Опр1. (полная группа событий) говорят что совокупность событий А1, А2…Аn образуют полную группу событий, если эти события попарно несовместны и в результате испытания обязательно наступает хотя бы одно из двух условий:
1. Ai*Aj=Ø(невозможные события), при I неравно j. 2. A1+A2+…+An=Ω
#: S={один выстрел по мишени}. События: А={попадание},В={промах}
А и В образуют полную группу событий.
Торема1. сумма вероятностей событий А1, А2 …Аn образующих полную группу ,равна 1. P(A1)+P(А2)+…+P(An)=1
Доказательство:Поскольку события А1, А2,..,Аn образуют ПГ, то А1+А2+..+Аn=омега, отсюда Р(А1+А2+..+Аn)=1 (*).
Любые 2 события ПГ несовместны, поэтому Р(А1+А2+..+Аn)= Р(А1)+Р(А2)+..+Р(Аn) (**). Из формул (*) и (**) окончательно получаем Р(А1)+Р(А2)+..+Р(Аn)=1, ч.т.д.
Теорема (формула полной вероятности) если событие А может наступить только при условии появления одного из событий В1, В2…Вn, которое образуют полную группу событий, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: P(A)=Σ P(Bi)*P(A/Bi)
Доказательство. Поскольку события В1, В2…Вn образуют полную группу , то В1+ В2+…+Вn=Ω поэтому А=А*Ω=А(В1+ В2+…Вn)=АВ1 +АВ2 + +..АВn=Σ ABi.Т.к. события В1, В2… Вn попарно несовместны то и события АВ1, АВ2…АВn так же попарно несовместны Р(А)=Р(Σ АВi)=Σ P(ABi)=Σ P(Bi)*P(A/Bi)
Замечание. ФПВ применяется во всех случаях когда испытание со случайным исходом распадается на 2 этапа, на первом этапе как бы «разыгрывается» условие испытание, а на втором этапе его результат, событие В1, В2… Вn при этом обычно называются гипотезами, поскольку за ранее неизвестно какое из этих событий наступит.
Формула Байеса. P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi))/(Σ P(Bi)P(A/Bi))
Доказательство. По теореме умножения вероятностей имеем P(A/Bi)=P(A)* P(Bi/A)=P(Bi)* P(A/Bi) отсюда P(Bi/A)=(P(Bi)*P(A/Bi))/P(A)(*). С другой стороны по формуле полной вероятности P(A)=Σ P(Bi)*P(A/Bi)(**). Из формулы (*)и(**) получаем формулу Байеса
Замечание. Формула Байеса позволяет пересчитывать вероятности гипотез в свете новой инфо-ии, состоящей в том, что в результате испытания произошло событие А.
Аксиомотическое построение теории вероятности(проеодолевает недостатки, присущие известным опред вероятности.-автор Толмогоров)
Аксиомы определяющие вероятность:
1.Каждому событию А соотв неотриц числоP(А), назыв его вероятностью.
2.Вероятность достоверного соб-ия =1
3. Если А1,А2,А3,Аn попарно несовм, то P(A1+A2+A3+An)=P(A1)+P(PA2)+P(An)