Лекция 10. Функция от СВ. Многомерные СВ.
Функция от СВ. Пусть ДСВ Х имеет ряд распред xi x1 x2 …pi p1 p2 и пусть y=g(x)- монотонная ф-я от аргумента х, тогда ДСВ Y=g(X) будет явл ф-ей от СВ Х, а её ряд распред будет иметь вид yi g(x1) g(x2) pi p1 p2 З. Если y=g(x) – не монотонная ф-я, то среди её зн-й g(x1),g(x2)… м б равные. В этом случае столбцы с равными зн-ями g(xi) объед в 1 столбец, а соотв вер-ти складывают. Т1 (ФР ф-и от СВ). Пусть Х-СВ с ФР Fx(x),а ф-ия y=g(x) явл монотонной, тогда ФР СВ Y=g(X) будет иметь вид: FX(g-1(y)),если g(x) – монотонно возрастает FY(y)= 1-FX(g-1(y)),если g(x) – монотонно убывает. Здесь x=g-1(y) – есть ф-ия обратная к ф-ии y=g(x). Док-во:Сл1.y=g(x) возраст. Тогда Fx(y)=def P{Y<y}=P{g(X)<y}=!g(X)<y ó X<g-1(y), тк g(x) монотонно возрастает! =P{X<g-1(y)}=defFx(g -1(y)). Сл2.y=g(x)убывает Fy(y)=def P{Y<y}=P{g(X)<y}=!g(X)<y óX>g -1(y),т к g(x) монотонно убывает!=P{X>g -1(y)}=!перейдем к протививопол событию P{Х<g -1(y)}!=1-P{Х<g -1(y)}=1-Fx (g -1(y)), чтд Следствие. Если Х есть НСВ с плотностью вер-ти fX(x),а y=g(x) –монотонная дифференцируемая ф-ия, то плотность вер-ти СВ Y=g(X) равна fY(y)=fX(g-1(y)*│ dg-1(y)/dy│ З! МО СВ Y=g(X) можно найти, зная закон распреде-я лишь СВ Х. ∑i=1ng(xi)pi,для ДСВ M(Y)=M(g(X))=-∞∫∞g(x)*fX(x)dx,для НСВ Опр 1Сов-ть n СВ (Х1,Х2,…,Хn), рассматриваемых совместно наз n-мерной СВ. Типы двумерных СВ. 1. дискретная – если возможн зн-я (xi,yi) образуют конечное или счётное мн-во. 2. непрерывная – если возможн зн-я сплошь заполняют не*ую обл-ть на плоскости. Опр 2Матрицей распределения двумерной ДСВ (X,Y) наз таблица вида: Здесь pij=P{X=xi;Y=yj}. (ТАБЛ) Св-ва вероятностей pij 1) ∑i=1n∑j=1mpij=1 – условие нонмировки. 2) ∑j=1mpij=pi=P{X=xi} 3) ∑i=1npij=pj=P{Y=yi} З. Св-ва 2) и3) означ, что если задана матрица распред-я двумерной ДСВ , то можно найти ряды распред-я одномерных СВ X и Y. Опр3ФР двумерной СВ (X,Y) наз вер-ть совместного выполн-я 2-х нерав-в: X<x;Y<y,т.е. F(x,y)=P{X<x,Y<y}. Т1. Если СВ X и Y независ, то F(x,y)=FX(x)*FY(y), где FX(x),FY(y) –ФР СВ X и Y соотв. Док-во:F(x,y)=P{X<x,Y<y}=P({X<x}{Y<y})=!{X<x},{Y<y}-события X,Y-независ., т.к. СВ Х и У независ по усл теоремы!=P{X<x}*P{Y<y}=defFx(x)*Fy(y) Опр4Плотностью вер-ти двумерной НСВ (X,Y) наз 2ая смешанная частная производная её ФР т.е. f(x,y)=∂2F(x,y)/∂x∂y. З. Если СВ X и Y независ, то f(x,y)=fX(x)*fY(y) Числовые хар-ки двумерной СВ. Опр5Ковариацией или корреляционным моментом СВ Х и Yназ МО произведения отклонений этих величин. Обознач cov (X,Y) или Kxy: Kxy=M[(X-M(X))(Y-M(Y))]. З. Ковариация хар-ет взаимною завис-ть СВ X и Y и для ДСВ нах-ся по ф-ле Kxy=∑i=1n ∑j=1m[(xi-M(X))(yj-M(Y))]*pij. З. Если СВ X и Y независ, то Kxy=0. Опр6Коэффициентом корреляции СВ Х и Y наз выражение rxy=Kxy/σx σy. З. Для любых СВ Х и Y выполн соотнош -1≤rxy≤1 при этом если rxy=0, то СВ X и Yназ некоррелированными, в противном случае – коррелированными.
Лекция 11. Выборка Пусть треб-ся изучить совок-ть однородных объектов отн-но некоторого качест-го или колич-го признака, харак-щего эти объекты. Для изучен. некоторого признака совок-ти обьектов примен-т 2 вида обслед-ний: 1. Сплошное- изуч-ся все обьекты совок-ти. и 2. Выборочное (выборный метод)- изуч-ся часть обьекта совок-ти, а выводы распростр-ся на всю совок-ть обьектов. Опр1. Генеральной совокупностью назыв. совок-ть всех однород-х обьектов, подлежащих изучению. Замечание!!!Часто под генер-ной совок-тью поним-т иследованую СВ. Опр2. Выборочной совокупностью или выборкойназыв. совок-ть обьектов, случайно отобраных из генер-ной совок-ти. Опр3. Обьектом совок-ти(генер-ной или выборочной)назыв. число ее обьектов. Типы выборок. 1.Повторная - отобраный обьект возвращается. 2.Безповторная - отобрн. обьект не возвращается. Опр4.Выборка назыв. репрезентативной ( представленной), если она достаточно хорошо воспроизводит генер-ную совок-ть. Опр5.Различные значения признака (СВ Х) назыв. вариантами и обознач. -х, а последовательтность вариант, записаных в возраст-м порядке назыв. вариантционным рядом. Пусть выборка объема n содержит k различ. знач. ( вариант): х1, х2,...,хk. Причем знач. х1 повторяется в выборке n1 раз, х2-n2,....xk-nk раз. Опр6.Число Ni появлений значения Xi в выборке назыв. частотой значения Хi, а отнош. Wi=Ni/N - относительной частной этого значения. Опр7. Статистич. распределением (или статис-м рядом) выборки назыв. табл., в верх. строке которой указано значен. выборки, а в нижней соответствующие им частоты или относит-ые частоты. Аналог в теории вер-ти - ряд распределения. Опр8. Полигоном относительных частот выборки назыв. ломанная в верш. в точках(Xi;Wi). Аналог в теории – многоуг. распределения. Опр9. Групированым статис-м рядом выборки назыв. табл., в верх строке которой указаны интер-лы(либо их границы), а в нижней - соответ-щие им относительн. частоты. Замечание!В качестве относит-ной частоты, соответ-щей итервалу, принимаюит сумму относит-х частот тех значений выборки, которые попали в этот интервал. Обычно интервалы берут одинаковой длины. Замечание!Группир. ряд используется в тех случаях, когда число различных элементов выборки, т.е. число вариантов достаточно велико. Опр10. Гистограммой назыв. графическое изображ. группир-го статистического ряда выборки. Замечание!Для построения гистограммы по оси Ох откладыв. интервалы группир-го ряда и строят на каждом интервале как на основании прямоугольник, высотой Wi Опр11. Эмпирическая функция распределения назыв. функцию F*(x), определенную формулой F*(x)=Exi<x Wi, где суммируются относительные частоты Wi тех значений Xi из выборки, которые меньше х. Замечание. При большем обьеме выборки эмпирич-кая функция распредел. F*(x) будет близкой к неизвестной теоретической функции распределения F(x) наблюдаемой СВ Х. Опр12. Выборочной средней –х назыв. среднее арифметическое значение выборки. -х=1/n ( явл-ся оценкой для матем-го ожидания СВ Х) Замечание! Если выборка представ-на статистич рядом то: -x=1/n* Опр13. Выборочной дисперсией D* (или S2) назыв среднее арифмит-кое квадратов отклонения значений выборки от выборочной средней D*=1/n (явл-ся оценкой для дисперсии СВ Х) Замечание.Если выборка представлена статистич-м рядом, то: D*=1/n* -(-x)2 Опр14. Выборочным СКО назыв. квадр. Корень из выбор-ной дисперсии: . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|