Главная | Обратная связь

Проверка гипотезы по зн-ю неизв параметра норм распред-я

Гипотеза о среднем. Пусть СВ Х распред по норм закону с пар-рами μ,σ.

Х Е N(μ,σ),где μ неизв. Требуется при уровне значимости α проверить гипотезу Но={μ=μ0(число)}. Предполож,что σ известно, тогда в кач-ве статистики критерия использ СВ. Z=( -μ₀)*√n/σ Е N(0,1). При этом

1)если Н1={ μ< μ₀}то использ левостор W,*ая удовл условию P{Z<-z_α}=α, (гр)

где z_α нах-ся из ур-я Ф(z_α)=1-α,где Ф(x)-ФР нормир норм распред-я

2) если Н1={ μ>μ₀},то использ правостор W,*ая удовл условию P{Z>z_α}=α, (гр)

где z_α нах-ся из ур-я Ф(z_α)=1-α

3)если Н1={ μ≠μ₀},то использ двустор W,*ая удовл условию P{!Z!>z_α}=α, где z_α нах-ся из ур-я Ф(z_α)=1-α/2 Зам.Если σ неизв,то в кач-ве статистики использ СВ t=( - μ₀)√n /S,*ая имеет распред-е Стьюдента с числом степеней свободы n-1,где n-объем выборки. При этом критич обл-ти опред так же,как и при известном σ,но вместо табл норм распред-я исп-ся табл распред Стьюдента.

Гипотеза о дисперсии. Пусть СВ Х распред по норм закону с парам μ и σ., т.е. Х Е N(μ,σ),где σ неизв. Нужно при уровне значимости α проверить гипотезу Но={σ²=σ²_{0(число)}}. Тогда в кач-ве статистики критерия использ СВ

χ²=(n-1)S²/σ²₀.Для опред W использ таблицы χ²-распред-я (р. Пирсона), при это

1.если H₁={δ ² <δ² ₀} , то исп левостор критическая область, а критич значение X_£ определяется по табл из условия P{χ² >X_£}= 1 -£

2если H₁={ δ ² >δ² ₀} то исп правостор критическая область, а критич значение X_£ определяется по табл из условия P{χ² >X_£}= £

3если H₁={ δ ² ≠ δ² ₀} то исп духсторонняя критическая область, а критич значение X_£ ‘ и X_£ “ определяется по табл из условия P{χ² >X_£ “}= £/2

P{χ² >X_{£ ‘}}= 1 - £/2

Лекция 12. Оценка паарметров распределения.

Пусть требуется изучит колич-ный признак Х генеральной совок-ти ( СВ Х) допустим, что из теорит-х соображений нам удалось установить сам вид з-на распред-ния ( нормальный , показательный и т.д.), но остается неизвестным один или несколько параметров распр-ния, например это параметр Y в распределении Пуассона. Таким образом для окончательного установления з-на распределения нам необходимо "Оценить", т.е. " Приближенно определить значение параметра распр-ния по некоторой выборке х1,х2,...,хn/

Замечание!Элементы выборки х1,х2,,..,,хn можно рассматривать как частные значения n независимых СВ Х 1,Х2,..,Хn каждое из которых имеет точно такой же з-н распределения, как и сам признак Х. Это объясняется тем, что различные серии опытов выборки будут различными.

Обознач. неизвестные параметры ч\з Q.

Опр1. Оценкой QnилиTnпараметра Q назыв. любая функция от рез-тов наблюдения над СВ Х, т.е. (X1,X2,…,X_n).

Замечание.Поскольку X1,X2,…,X_n – СВ, то и оценка -Q_n в отличие от оцениваемого параметра Q является СВ.

Опр2.Оценка -Qn параметра Q назыв.несмещенной, если ее МО равно оцениваему параметру, т.е. M(Q_n)=Q. В противном случае оценка назыв. смещенной.

Замечание. Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематич. ошибок при оценивании.

явл-ся несмещ. оценкой для

Примеры несмещенных оценок:

 

Опр3.Оценкой Qn параметра Q наз. состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е.

для люб. >0

Опр4.оценка -Qn параметраQ назыв. эффективной, если при заданном объеме выборки она имеет наименьшую дисперсию,т.е. D(Q_n)=D_min

Опр5! Доверительной вероятностьюилинадежностьюоценки Qn параметра Q назыв. вероятность , с которой осуществляется неравенство,

Заменив нер-во равносильным ему двойным неравенством Q_n- получим . Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Q=

Опр6. Интервал ,который покрывает неизвестный параметр Q с заданной надежностью назыв. доверительным интервалом.

Замечание!Обычно надежность задается заранее, значением близким 1.( 0,95;0,98..)