Главная | Обратная связь

Теорема 1: (неравенство Чебышева)

Для любой СВ Х, имеющей МО и дисперсию, справедливо неравенство

Доказательство:Введем в рассмотрение новую СВ: Y=[X-M(X)] так как СВ Y>=0, то по Лемме Чебышева получаем: или, что тоже самое: с другой стороны

тогда неравенство (*) примет вид:

Следствие:Поскольку события противоположны, то неравенства Чебышева можно записать в виде:

Теорема 2: (теорема Чебышева) Если СВ попарно независимы и где С – некоторая постоянная, то при любом справедливо равенство:

Доказательство:Введем в рассмотрение новую СВ найдем МО и оценку дисперсии СВ Х:

 

Запишем неравенство Чебышева в формуле (1) для СВ Х:

 

Зам: (смысл теоремы Чебышева): При большом числе n СВ практически достоверно, что их средняя хотя есть величина случайная, но она сколь угодно мало отличается от неслучайной величины , то есть практически перестает быть случайной.

Зам!: т. Ч-ва является наиболее общим законом больших чисел, а теорема Бернулли, рассматр-ая ниже, простейшим.

Т3: (теорема Бернулли): Пусть число успехов в n испытаниях Бернулли и р - вероятность появления успеха в каждом испытании, тогда при любом числе справедливо равенство:

Доказательство:Воспользуемся след. представлением для СВ : , где - это ДСВ, означающая число появления успеха в i-ом испытании (i=1,2,3,….,n). Т. к. испытания Бернулли повторны и независимы, то СВ (i=1,2,,….,n) будут попарно независимы и одинаково распределены, то есть будут иметь одинаковый ряд распределения.

 

 

Т.о. дисперсии СВ (i=1,2,…,n) ограничены одной величиной, а значит к этим CD можно применить т. Ч-ва.

 

 

Центральная, предельная теорема.

Теорема 4: (центральная, предельная теорема).

Если независимые СВ, имеющие одно и тоже распределение с МО и дисперсией , то при неограниченном возрастании n, закон распределения суммы Х= , неограниченно приближается к нормальному.