Здавалка
Главная | Обратная связь

Формула полной вероятности



 

Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности.

Постановка задачи. Пусть имеем попарно несовместных, образующих полную группу событий: , Так как заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, то эти события называют гипотезами. Некоторое интересующее нас событие может произойти вместе с одним из событий . Требуется определить вероятность события .

Теорема. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из попарно несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события , т.е.

Доказанная формула носит название формулы полной вероятности.

Пример 1. Имеются три одинаковые на вид урны. В первой урне 2 белых и 1 черный шар, во второй урне – 3 белых и 1 черный шар, в третьей урне 2 белых и 2 черных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Вычислить вероятность того, что этот шар белый.

Решение.

1. Событие - появление белого шара;

2. Гипотезы: - выбор первой урны, - выбор второй урны,

- выбор третьей урны,

3. Вероятности гипотез:

, , , .

4. Условные вероятности события :

, , .

5. .

Ответ: 23/36.

Пример 2. Штамповочный цех направил в отдел контроля своего предприятия два контейнера штампованных деталей. Первый контейнер содержит 20000 деталей, 5% которых являются браком. Второй контейнер содержит 10000 деталей с 1% брака. Детали из обоих контейнеров были перемешаны, после чего контролер наудачу берет из общей партии одну штампованную деталь. Какова вероятность того, что эта наудачу взятая деталь будет бракованной.

Решение.

1. Событие - наудачу взятая деталь окажется бракованной;

2. Гипотезы: - деталь с первого контейнера,

- деталь со второго контейнера.

3. Вероятности гипотез:

, , .

4. Условные вероятности события : , .

5. .

Ответ: 0,037.

Пример 3. Рассматриваются акции некоторой компании. Исследования показали, что если экономика страны будет на подъеме, то вероятность роста стоимости акций в этой компании в следующем году будет равна 0,7; если же развитие экономики не будет успешным, то эта вероятность равна 0,2. По мнению специалистов, вероятность подъема экономики в следующем году равна 0,85. Оценить вероятность того, что в следующем году акции компании поднимутся в цене.

Решение.

1. Событие - в следующем году акции компании поднимутся в цене;

2. Гипотезы: - экономика страны будет на подъеме,

-развитие экономики не будет успешным.

3. Вероятности гипотез:

,

4. Условные вероятности события :

, .

5. .

Ответ: 0,625.

Пример 4. По самолету производят три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем – 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, при двух попаданиях самолет выходит из строя с вероятностью 0,6. Вычислить вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

Решение.

1. Событие - выход самолета из строя;

2. Гипотезы: - в самолет не попал ни один снаряд,

- в самолет попал только один снаряд,

- в самолет попали два снаряда,

- в самолет попали все три снаряда.

3. Вероятности гипотез:

,

.

4. Условные вероятности события :

, , , .

Ответ: 0,458.

Пример 5. В первой коробке содержится 20 радиоламп из них 18 стандартных, во второй коробке содержится 10 радиоламп из них 9 стандартных. Из второй коробки наугад взята лампа и переложена в первую. Вычислить вероятность того, что наудачу извлеченная из первой коробки лампа будет стандартной.

Решение.

1. Событие - из первой коробки извлечена стандартная лампа;

2. Гипотезы:

- из второй коробки в первую переложили стандартную лампу,

- из второй коробки в первую переложили нестандартную лампу.

3. Вероятности гипотез:

, , .

4. Условные вероятности события :

, .

5. .

Ответ: 0,9.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.