Вероятность гипотез. Формулы Байеса

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формулы Байеса.

Постановка задачи. Имеется полная группа несовместных гипотез . Событие наступает при условии появления одного из событий . Производится опыт, в результате которого осуществляется интересующее нас событие . Требуется определить вероятности гипотез в связи с появлением события .

Теорема гипотез. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события:

Формулы носят название формул Байеса по имени английского математика, который их вывел. Опубликованы они в 1764 г.

Пример 1. В трех ящиках находятся однотипные изделия: в первом 10 изделий, из них 3 нестандартные, во втором 15 изделий, из них 5 нестандартных и в третьем 20 изделий, из них 6 нестандартных. Наудачу выбирается одно изделие, и оно оказалось нестандартное. Определить вероятность того, что взятое изделие принадлежало второму ящику.

Решение.

1. Событие - наудачу выбранное изделие является нестандартным;

2. Гипотезы: - взятое изделие принадлежит первому ящику,

- взятое изделие принадлежит второму ящику,

- взятое изделие принадлежит третьему ящику.

3. Вероятности гипотез:

, , , .

4. Условные вероятности события :

, , .

5. .

6. .

Ответ: 5/14.

Пример 2. Производится сборка деталей на четырех автоматах: , производительности которых относятся как 4:3:2:1. Автомат выпускает 90% стандартных деталей, - 98%, - 92%, - 95%. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Вычислить вероятность того, что она изготовлена на автомате .

Решение.

1. Событие - деталь стандартна;

2. Гипотезы: - деталь собрана на автомате ,

- деталь собрана на автомате ,

- деталь собрана на автомате .

3. Вероятности гипотез:

4. Условные вероятности события :

, , , .

6. Для автомата :

Ответ: 0,458.

7. Для автомата :

Ответ: 0,315

8. Для автомата :

Ответ: 0,197.

9. Для автомата :

Ответ: 0,102.

Пример 3. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные органы, 20% - другие банки, остальные - физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращён, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Начальнику кредитного отдела доложили, что получено факсимильное сообщение о неисполнении обязательств по возврату кредита, в котором очень плохо пропечаталось имя клиента. Найти вероятность того, что кредит не возвращает какой-либо банк

Решение.

1. Событие - взятый кредит не возвращается;

2. Гипотезы:

- запрос на этот кредит поступил от государственного органа,

- запрос на кредит поступил от другого банка,

- запрос на кредит поступил от физического лица.

3. Вероятности гипотез: