Главная | Обратная связь

Предельные теоремы для биномиального распределения.

Теорема Пуассона ~ Локальная теорема Муавра—Лапласа ~ Интегральная теорема Муавра—Лапласа ~ Теорема Бернулли

 

Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли растет, а вероятность p уменьшается, то точная формула практически непригодна из-за громоздких вычислений и возникающих погрешностей округления. В этом случае пользуются приближенными формулами Пуассона (при npq < 9) и Муавра-Лапласа (npq > 9).

 

Теорема Пуассона

 

Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли стремится к бесконечности и так, что , , то при любых

Это означает, что при больших n и малых p вместо громоздких вычислений по точной формуле можно воспользоваться приближенной формулой

, т.е. использовать формулу Пуассона для l = np.

На практике пуассоновским приближением пользуются при npq < 9.

 

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Пусть 0< p <1 и величина при n ® ограничена. Тогда .

На практике приближением Муавра-Лапласа пользуются при npq > 9.

Точность формулы растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения величин p и q к 0.5.

 

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

 

Пусть 0< p <1, тогда для схемы Бернулли при n ® для любых a и b справедлива формула

.

Отсюда, в частности, следует, что для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k₁ и k₂, можно использовать формулу

,

где , , - функция Лапласа.

Точность этой приближенной формулы растет с ростом n.

Если npq сравнительно невелико, то лучшее приближение дает формула

и для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k₁ и k₂, можно использовать формулу

, где , .

Теорема Бернулли

 

Если x - число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p, 0 < p < 1, то для любого e > 0 справедливо: .

Утверждение теоремы Бернулли означает, что с ростом числа испытаний n относительная частота успехов x /n приближается к вероятности p успеха в одном испытании.

Достаточно часто возникает необходимость установить, сколько нужно произвести испытаний, чтобы отклонение относительной частоты успехов x /n от вероятности p с вероятностью, больше или равной было меньше . Т.е. требуется найти n, для которого справедливо неравенство . Доказано, что число n, которое обеспечивает выполнение этого неравенства, удовлетворяет соотношению , где - решение уравнения . Следует обратить особое внимание на замечательный факт: искомое значение n не зависит от p!