Условное математическое ожидание
Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если x - случайная величина и h =x 2, то h - тоже случайная величина, связанная с x функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание, вычисленное по условному распределению, называется условным математическим ожиданием. Для двумерного дискретного случайного вектора (x , h ) с распределением
условное математическое ожидание случайной величины x при условии, что случайная величина h принимает значение yj, вычисляется по формуле . Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины h при условии, что случайная величина x принимает значение xi, равно . Видно, что условное математическое ожидание случайной величины x является функцией значений случайной величины h , т.е. M(x /h = y) = f1(y) и, совершенно аналогично, M(h /x = x) = f2(x). Функцию f1(y) называют регрессией случайной величины x на случайную величину h , а f2(x) - регрессией случайной величины h на случайную величину x . Если p(x ,h )(x, y) совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины (x ,h ), то и . Ковариация
Если между случайными величинами x и h существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи является ковариация cov(x , h ). Ковариацию вычисляют по формулам cov(x , h )=M[(x - Mx )(h - Mh )] = M(x h) - Mx Mh . Если случайные величины x и h независимы, то cov(x ,h )=0. Обратное, вообще говоря, неверно. Из равенства нулю ковариации не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимыми в то время как их ковариация нулевая! Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, то между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации. Свойства ковариации: cov(x , x ) = Dx ;
; ; , где C1 и C2 - произвольные константы. Ковариационной матрицей случайного вектора (x ,h ) называется матрица вида . Эта матрица симметрична и положительно определена. Ее определитель называется обобщенной дисперсией и может служить мерой рассеяния системы случайных величин (x ,h ). Как уже отмечалось ранее, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: . Если же случайные величины зависимы, то .
Корреляция
Понятно, что значение ковариации зависит не только от “тесноты” связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих значений. Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется безразмерный коэффициент корреляции . Этот коэффициент обладает следующими свойствами: он безразмерен; его модуль не превосходит единицы, т.е. ; если x и h независимы, то k(x ,h )=0 (обратное неверно!); если , то случайные величины x и h связаны функциональной зависимостью вида h = ax +b, где a и b- некоторые числовые коэффициенты; ; Корреляционной матрицей случайного вектора называется матрица . Если и , то ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора (x ,h ) связаны соотношением , где .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|