 |
|
Теорема сложения вероятностей.
Рассмотрим теоремы, позволяющие вычислить вероятность появления события А или В в результате одного испытания, т.е. вероятность суммы этих событий А+В. Возможны два случая: события совместны и несовместны.
Теорема1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Доказательство:
Число всех исходов N, число исходов благоприятствующих событию А- К, событию В- L. Так как А и В несовместны, то ни один из этих исходов не может благоприятствовать А и В одновременно, т.е. А и В взаимно исключающие, следовательно число благоприятствующих исходов для события А+В равно К+L. Тогда вероятность равна:
Теорема2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
Доказательство:
Всего исходов N, благоприятствующих событию А- К, событию В- L, совместному появлению А и В- М. Следовательно, благоприятных исходов для события А+В : K+L-M. Откуда вероятность события А+В:
Условной вероятностью 
(два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило
Определение:
Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.
Определения:
События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.
Теорема умножения вероятностей.
Теорема1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)РА(В).
Доказательство:
Пусть в результате опыта возможны N исходов, из них М благоприятствуют появлению события А, их этихМ- К исходов благоприятствуют событию В. Одновременному появлению событий А и В благоприятствуют L исходов из К.. По классической формуле имеем: Р(АВ)=L/N. Умножим и разделим на М:
Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при условии, что А уже произошло, т.е. условная вероятность события В, что и требовалось доказать.
Теорема2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Доказательство:
Т.к. события независимые, то верно равенство РА(В)=Р(В), тогда получим Р(АВ)=Р(А)Р(В).
По́лной гру́ппой собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них.. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.
Формула полной вероятности:
Пусть требуется определить вероятность некоторого события 
, которое может произойти вместе с одним из событий:
,
образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.
Докажем, что в этом случае
,
т.е. вероятность события вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.
Доказательство. Так как гипотезы образуют полную группу, то событие может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:
.
Так как гипотезы несовместны, то и комбинации 
также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим:
.
Применяя к событию 
теорему умножения, получим: 
что и требовалось доказать.
Формула Байеса:
Поставим следующую задачу.
Имеется полная группа несовместных гипотез 
. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно 
. Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?
Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти условную вероятность 
для каждой гипотезы.
Из теоремы умножения имеем:
,
или, отбрасывая левую часть,
,
откуда
.
Выражая 
с помощью формулы полной вероятности имеем:
.
Схема Бернулли
Рассмотрим стохастический эксперимент, который в свою очередь является последовательностью n независимых и однородных (одинаковых) испытаний, в результате каждого из которых может произойти событие 
или ему противоположное 
с вероятностями 
и 
По условию результат любого испытания не зависит от его порядкового номера и от того, что произошло до него. Найдём вероятность 
события 
, заключающегося в том, что в результате событие появится ровно 
раз. Очевидно, интересующее нас событие появится тогда, когда появится одно из следующих событий:
Здесь выписаны все комбинации из 
сомножителей, из которых множителей вида и 
вида . Нижний индекс указывает на порядковый номер испытания. Поскольку произойдёт тогда, когда произойдёт или первая, или вторая, …, или последняя комбинация, то
В этой сумме имеется всего 
(или 
) таких комбинаций, поскольку элементов типа (или элементов типа ) распределяются по позициям. Поскольку все слагаемые в этой сумме попарно несовместны, а множители в каждом слагаемом независимы, то искомая вероятность будет равна сумме одинаковых слагаемых, каждое из которых содержит множителей 
и множителей 
. Учитывая, что всего слагаемых , в итоге получаем формулу Бернулли:
(1.15)
Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа
При достаточно большом n и не слишком малых p и q формула Пуассона уже даёт значительную погрешность и применяется другое приближение – формула Муавра - Лапласа, которую можно получить из формулы Бернулли, совершая предельный переход и применяя формулу Стирлинга для вычисления 
где 
и 
(1.21)
Эта формула также табулирована (Таблица 3), причём в силу чётности функции 
, таблица её значений составлена только для 
Если при сохранении условий предыдущего пункта нас интересует вероятность того, что при испытаниях событие появляется не менее 
и не более 
раз, то формула (1.18) с учётом предельного перехода превращается в интегральную формулу Муавра-Лапласа:
где
и сумма превращается в интеграл. Функция 
– интеграл от 
– называется функцией Лапласа и представляет собой не выражающийся через элементарные функции интеграл. Поскольку функция Лапласа нечётная ( 
) и быстро приближается к своему асимптотическому значению 0.5, то таблица её значений (Таблица 4) составлена для 
. Для больших значений аргумента с большой точностью можно принять 
.
Простейший стационарный (Пуассоновский) поток событий
Пусть на некоторой прямой расположены точки так, что в среднем на единицу длины приходится 
точек. Последнее не следует понимать так, что на любой единичный отрезок приходится ровно точек, но если взять достаточно большой по длине отрезок 
и разделить число точек , оказавшихся в нём, на его длину, то отношение 
при неограниченном увеличении 
будет как угодно мало отличаться от , то есть играет роль средней плотности.
Вероятность того, что одна точка окажется на отрезке длины l , зависит только от его длины и не зависит от его расположения на прямой. Точки распределяются на прямой независимо друг от друга.
|
| Рис.1.7 |
Определим теперь вероятность того, что ровно точек окажется на отрезке длиной 
. Для этого введём в рассмотрение отрезок , целиком включающий в себя отрезок , причём, (Рис.1.7). Согласно принятым допущениям на отрезке расположено 
точек, причём каждая из них может оказаться в любом месте отрезка и все эти положения равно возможны. Вероятность того, что одна из этих точек окажется на отрезке , согласно справедливой в этом случае геометрической схеме, равна 
и не зависит от того, какая из этих точек первая, вторая и т.д.
В результате мы пришли к схеме Бернулли (производится испытаний, в каждом из которых мы следим за одной точкой, и любая из них с вероятностью может оказаться на отрезке ). Поэтому вероятность того, что ровно точек из 
окажется на отрезке , определяется по формуле Бернулли 
где ; . При неограниченном увеличении , длина отрезка стремится к бесконечности, а к нулю, но при этом величина 
остаётся постоянной. Следовательно, можно применять формулу Пуассона, которая в данном случае является точной, а не асимптотической:
(1.22)
Если нас интересует вероятность того, что на отрезке окажется не менее 
точек, то применяется формула
(1.23)
Разумеется, вместо отрезка на прямой можно рассматривать плоскость и некоторую её область, трёхмерный случай или вообще случай любого числа измерений, а также временной отрезок. В каждом из этих случаев 
– среднее число элементов, приходящихся на рассматриваемую область.
Формула Пуассона
Рассмотрим ситуацию, в которой число испытаний в схеме Бернулли неограниченно увеличивается, а вероятность наступления события в каждом испытании стремится к нулю таким образом, что произведение 
остаётся величиной постоянной, которую обозначим 
. В этом случае имеет место соотношение:
(1.19)
Доказательство. По формуле Бернулли
Воспользуемся тем, что по условию или 
и 
Формула Бернулли принимает вид:
Так как и фиксированы, а стремится к бесконечности, то множители 
; … ; 
и 
стремятся к единице, а множитель 
стремится к 
, то
Полученное выражение называется Пуассоновским приближением формулы Бернулли. Эта формула даёт хорошее приближение при достаточно большом и малом (например, 
и 
).
Вероятность события, заключающегося в том, что появится не более раз, очевидно, вычисляется по формуле
(1.20)
Случайной называется величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента
Дискретной назовём случайную величину, возможные значения которой образуют или конечное множество, или счётное (бесконечное множество, элементы которого можно пронумеровать).
Назовём законом распределения дискретной случайной величины правило, по которому каждому возможному значению ставится в соответствие вероятность, с которой случайная величина может принять это значение.
Назовём функцией распределения 
функцию, равную вероятности того, что случайная величина 
примет значение, меньше 
.
(2.2)