 |
|
Лінійні рівняння з параметрами
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ З ПАРАМЕТРАМИ
Роботу виконала:
Казановська Крістіна,
учениця 9-А класу Маріупольської
спеціалізованої школи
І-ІІІ ступенів № 40 імені Миська Є.М.
Керівник роботи:
Юрочко Світлана Анатоліївна вчитель математики Маріупольської спеціалізованої школи
І-ІІІ ступенів № 40 імені Миська Є.М. спеціаліст І категорії
Маріуполь – 2015
ЗМІСТ
| Вступ | |||
| 1. | Теоретична частина | ||
| 1.1 | Лінійні рівняння з параметрами | ||
| 1.2 | Дробово-раціональні рівняння з параметрами | ||
| 1.3 | Квадратні рівняння з параметрами | ||
| 1.4 | Графічне розв’язування рівнянь з параметрами | ||
| 1.5 | Дослідження і розв’язування систем рівнянь з двома невідомими та з параметрами | ||
| 1.6 | Графічне розв’язування систем рівнянь з параметрами | ||
| 1.7 | Розв’язування лінійних нерівностей з параметрами | ||
| 1.8 | Розв’язування квадратних нерівностей з параметрами | ||
| 1.9 | Квадратична функція | ||
| 2. | Практична частина | ||
| 2.1 | Розв’язування текстових задач з параметрами | ||
| 2.2 | Розв’язування олімпіадних задач з параметрами | ||
| 2.3 | Розв’язування задач з параметрами з ЗНО | ||
| Висновки | |||
| Список використаних джерел |
ВСТУП
При підготовці до державної підсумкової атестації з математики я зіткнулася з завданнями, розв’язування яких викликало у мене труднощі. Це так звані завдання з параметрами. Мене зацікавило питання про те, як розв’язувати такі завдання. У сучасному житті вивчення багатьох фізичних процесів і геометричних закономірностей часто призводить до розв’язування завдань з параметрами.
У більшості літератури щодо розв’язування завдань з параметрами йдеться про те, що такі завдання «сприяють формуванню логічного мислення і математичної культури школяра, відкривають перед учнями значне число евристичних прийомів загального характеру, цінних для математичного розвитку особистості, застосовуваних у дослідженнях і на будь-якому іншому математичному матеріалі».
Як відомо, легко розв’язати таку нову задачу, яка схожа на розв’язану раніше. Однак задачі з параметрами часто не схожі одна на одну і за аналогією їх розв’язувати не можна. Тому розв’язування задач з параметрами розвиває абстрактне мислення, спонукає до пошукової діяльності, формує навички аналізу. Ці якості дуже важливі для математичного розвитку особистості – якості, що застосовується під час розв’язування прикладних задач.
Задачі з параметрами різного виду зустрічаються на вступних іспитах до багатьох навчальних закладів. А в тестах з ЗНО з математики в більшості варіантів є рівняння, або нерівності з параметрами, які пропонують розв’язати. А так як в шкільному курсі з математики розглядаються тільки основи даної теми, тому я вирішила поглибити знання з цієї теми. Тому темою роботи є «Розв’язування задач з параметрами».
Завдання з параметрами представляють чисто математичний інтерес, сприяють інтелектуальному розвитку учнів, служать гарним матеріалом для відпрацювання навичок. Вони володіють діагностичною цінністю, оскільки за допомогою них можна перевірити знання основних розділів математики, рівень математичного та логічного мислення, первісні навички дослідницької діяльності та перспективні можливості успішного оволодіння курсу математики у вищих навчальних закладах.
Актуальність теми роботи обумовлена тим, що задачі з параметром практично не вивчаються в ході шкільної програми, а також завдання пов'язані з розв'язуванням рівнянь з параметрами, часто трапляються на шкільних олімпіадах різних рівнів, на різноманітних конкурсах, але широко представлені в матеріалах для підготовки до ДПА та ЗНО. Результати зовнішнього оцінювання показали, что значних труднощів викликали в учнів розв'язування рівнянь з параметрами.
Об’єктом дослідження роботи є задачі з параметрами, а предметомдослідження є методи розв’язування задач з параметрами.
Метою роботи є вдосконалення вміння розв’язування задач з параметрами, поглибити знання з цієї теми для успішного складання ДПА та ЗНО з математики.
Виходячи з мети роботи були сформульовані наступні задачі:
1) Розглянути та систематизувати основні типи задач з параметрами.
2) Розглянути та систематизувати теоретичний матеріал з даної теми.
3) Показати основні методи розв’язання задач з параметрами.
4) Розв’язати текстові задачі з параметрами, олімпіадні задачі, а також задачі з параметрами, які зустрічаються в ЗНО.
При написанні роботи застосовувалися, в більшості своїй, теоретичні методи дослідження: вивчення літератури, аналіз та систематизація отриманої інформації, самостійне розв’язування завдань. Дана робота допоможе зрозуміти іншим учням як застосувавати методи розв’язування задач з параметрами.
Практична цінність: результати роботи можуть бути використані в навчальному процесі математичної підготовки учнів у системі загальної освіти, при розробці методичних посібників для вчителів; може бути використана учнями 9, 10, 11 класів при підготовці до ДПА та ЗНО.
ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
Для розв’язування задач у математиці досить часто доводиться складати й розв’язувати рівняння, системи рівнянь, нерівності. При цьому нерідко в ці рівняння й нерівності, крім невідомих величин, входять також деякі інші змінні величини, що мають назву параметри.
Рівняння з параметрами називаємо рівняння виду: 
, (1) де 
– шукане невідоме, 
– змінні параметри.
Значення шуканого невідомого 
залежить від значення параметрів.
Значення параметрів 
, при яких вираз 
має зміст при деяких значеннях 
, називається допустимим. Множину всіх допустимих систем значень параметрів рівняння (1) називають областю зміни параметрів цього рівня.
Для кожної допустимої системи значень параметрів рівняння (1) має певну множину розв’язків. Розв’язати рівняння з параметрами означає знайти всі розв’язки цього рівняння для кожної допустимої системи параметрів.
Щоб розв’язати рівняння з невідомим 
і параметрами , треба:
ü визначити область допустимих систем значень параметрів ;
ü розв’язати рівняння відносно 
і подати невідоме 
у вигляді функції 
;
ü з’ясувати, при яких допустимих системах значень параметрів значення функції 
є розв’язками даного рівняння;
ü розглянути рівняння (1) при таких допустимих системах значень параметрів, при яких його не можна розв’язати відносно 
; з’ясувати, чи має рівняння при цих значеннях параметрів розв’язки, і якщо має, то які.
Лінійні рівняння з параметрами
Рівняння виду 
(2)
де 
– невідоме, 
, 
– параметри, називають лінійним рівнянням з параметрами.
Це рівняння рівносильне рівнянню 
(3)
Дослідимо його.
Якщо 
, то рівняння (3) має єдиний розв’язок: 
.
Якщо 
, 
, то рівняння (3) має вигляд: 
, звідки 
– будь-яке число.
Якщо 
, 
, то рівняння (3) має вигляд: 
, що неможливо. Рівняння не має розв’язків.
Схема
Приклад 1.Розв’язати рівняння 
Розв’язування: знайдемо ті значення параметра, які перетворюють у нуль коефіцієнт при 
: 
, 
, 
.
Якщо 
, рівняння матиме вигляд 
– немає коренів.
Якщо 
, 
, 
– будь-яке.
Якщо 
, 
, 
.
Відповідь. Якщо , то кренів немає;
якщо , – будь-яке;
якщо 
, 
, 
.
Приклад 2.При якому значенні параметра 
рівняння 
має безліч розв’язків?
Розв’язування: використовуючи схему дослідження лінійного рівняння, маємо: 
Розв’язуючи цю систему, дістаємо:
Звідки 
.
Відповідь. 1.
Приклад 3.При якому значенні параметра рівняння 
не має розв’язків?
Розв’язування: перетворимо дане рівняння до вигляду:
, або
.
Останнє рівняння не має розв’язків, якщо
Розв’язуючи цю систему, дістаємо:
Звідки 
.
Відповідь. – 2.