Дослідження і розв’язування систем рівнянь з двома невідомими та з параметрами

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 9Следующая ⇒

Дослідити систему лінійних рівнянь означає встановити:

ü чи є система визначеною, тобто має єдиний розв’язок, і коли;

ü чи є система несумісною, тобто не має розв’язків, і коли;

ü чи має вона безліч розв’язків і коли.

Нехай дано систему рівнянь: де , – невідомі; , , , , – параметри.

Якщо , то система має єдиний розв’язок.

При цьому графіки рівнянь, що входять у систему, мають одну спільну точку, координати якої є розв’язками системи.

Якщо , то система не має розв’язку.

Графіки рівнянь при цьому є взаємно паралельними прямими.

Якщо , то система має безліч розв’язків.

Графіки рівнянь збігаються.

Для розв’язування систем лінійних рівнянь з двома невідомими можна скористатися правилом Крамера (методом визначників):

Оскільки

;

, то ; .

Це можна записати:

Якщо , то система має єдиний розв’язок;

Якщо , то система має безліч розв’язків.

Якщо , , , система не має розв’язків.

Приклад 1.При якому значенні параметра система має безліч розв’язків?

Розв’язування: система має безліч розв’язків, якщо .

Розглянемо рівняння , звідси . З умови маємо .

Відповідь.

Приклад 2.При якому значенні параметра система не має розв’язку?

Розв’язування: система не має розв’язку, якщо .

Розв’яжемо рівняння .

Звідси . Перевіримо умову .

Підставимо в останній вираз замість його значення , дістанемо: . Якщо , то система розв’язку не має.

Відповідь. , .

Приклад 3.Знайти всі значення параметра , при яких система має єдиний розв’язок?

Розв’язування:

1) Система має єдиний розв’язок, якщо , тобто при , .

2) Окремо слід розглянути випадки і . При початкова система набуває вигляду: тобто розв’язків не має.

При отримуємо: отже система має один розв’язок.

Відповідь. Система має один розв’язок .

Приклад 4.Знайти всі значення параметра , при яких система не має розв’язків?

Розв’язування: система не має розв’язків, якщо .

1) Окремо розглянемо кожний із випадків.

При система має безліч розв’язків.

При система немає розв’язків.

При отримаємо систему що має один розв’язок.

Відповідь. Система не має розв’язків .

Приклад 5.Дослідити і розв’язати систему:

Розв’язування: система має єдиний розв’язок, якщо , або

Розв’язавши цю систему, дістанемо: ; .

Для знаходження невідомих і скористаємося методом визначників.

, ,

;

Дослідимо систему, коли і . Нехай . Тоді дана система набирає вигляду: тобто вона має безліч розв’язків виду: ; .

Нехай , тоді маємо:

Спростивши рівняння системи, дістанемо рівносильну їй систему:

Оскільки , то система розв’язків не має.

Відповідь. Якщо ; , ; ; якщо , безліч розв’язків; якщо , розв’язків немає.

Приклад 6.При яких значеннях система рівнянь має розв’язки , ?

Розв’язування: система має розв’язки, якщо , звідки . Для знаходження невідомих і скористаємося методом визначників.