 |
|
Графічне розв’язування систем рівнянь з параметрами
Для розв’язування та дослідження систем рівнянь з параметрами іноді зручно використовувати графічний спосіб.
Нехай у координатній системі 
задано дві лінії 
; 
. Щоб знайти точки перетину цих ліній, потрібно розв’язати систему:
При цьому кожний розв’язок системи визначає одну з точок перетину.
Нагадаємо деякі графіки і рівняння в прямокутній системі координат.
ü 
– пряма лінія. Загальне рівняння прямої має вигляд: 
.
ü 
– рівняння кола, де 
і 
в – координати центра 
кола, 
– його радіус.
Окремий випадок 
в – рівняння кола з центром у початку координат.
ü 
, 
в – рівняння параболи, вісь якої паралельна осі 
.
Координати вершини знаходять за формулами:
; 
.
ü 
.
Графіком цього рівняння, якщо 
, є квадрат, вершини якого розміщені в точках 
, 
, 
; 
Приклад 1.Обчислити добуток тих значень параметра 
, при яких система 
має єдиний розв’язок.
Розв’язування: 
перше рівняння системи задає коло радіуса 4 з центром у початку координат; друге рівняння – коло радіуса 1 з центром у точці 
. Щоб система рівнянь мала єдиний розв’язок, необхідно, щоб ці два кола дотикалися, тобто мали єдину спільну точку.
З малюнка видно, що 
може набувати значень: - 5; - 3; 3; 5. Їх добуток дорівнює 225.
Відповідь. 225.
Приклад 2.При якому найменшому цілому додатному значенні параметра система 
не має розв’язку?
Розв’язування: 
Перше рівняння системи задає коло радіуса 7 із центром у початку координат; друге рівняння – параболу 
, зсунути вздовж осі 
на 
одиниць; вітки цієї параболи напрямлені вгору ( 
). За умовою ці лінії (коло і парабола) не повинні мати спільних точок. Можливе розміщення ліній з урахуванням обмежень на параметр 
показано на малюнку. Отже, тоді найменше ціле значення параметра дорівнює 8.
Відповідь. 8.
Приклад 3.Знайти найменше значення параметра 
, для якого система рівнянь 
має єдиний розв’язок?
Розв’язування: оскільки 
, то 
Розв’яжемо систему рівнянь графічно.
Рівняння 
задає сукупність бісектрис координатних кутів. Оскільки 
, то графіком другого рівняння є коло з центром у точці 
і радіусом 
.
Єдиний розв’язок системи можна отримати у випадку, коли коло дотикається до однієї з бісектрис. При цьому відстань має бути найменшою з можливих. Знайдемо від точки 
до кожної з прямих 
та 
:
; 
.
Оскільки 
, то 
, 
; 
, 
Серед чисел 
виберемо найменше: 
,
, отже, 
.
Відповідь. 
.
Приклад 4.При яких значеннях параметра система 
має три розв’язки?
Розв’язування: перше рівняння системи – це коло радіуса 1 із центром 
Графіком другого рівняння є сукупність ліній утворених із графіків 
паралельним перенесенням на одиниць уздовж осі 
.
Система має три розв’язки. коли графіки рівнянь мають три спільні точки. Це відбувається, коли графік 
проходить через точку 
Відповідь. Система має три розв’язки, якщо 
.