 |
|
Розв’язування текстових задач з параметрами
Задача 2.1.1. Дві точки починають одночасно рівномірний рух від вершини прямого кута уздовж його сторін. З якою швидкістю має рухатися перша з них, щоб через t с після початку руху відстань між ними була не менше 10 м, якщо відомо, що швидкість другої точки на 2 м / с більше швидкості першої?
Розв’язування:
1. Нехай х м/с – швидкість руху першої точки, тоді (х+2) м/с – швидкість руху другої точки.
2. За t с точки пройдуть відповідно tx м и (х+2)м. При цьому відстань між ними складе 
3. Завдання зводиться до вирішення нерівності :
10
Яке рівносильне нерівності:
(1)
4. Нехай D - дискримінант квадратного тричленa
(2)
Знаходимо 
За змістом задачі 
5. Маємо 
при 
, тобто при 
. Тоді нерівність (1) справедливо при будь-якому 
6. Маємо 
при 
. Тоді нерівність (1) прийме вигляд 
, і, значить, воно також справедливо при
7. Розглянемо тепер випадок 
, тобто 
. Тоді квадратний тричлен (2) має два дійсних кореня:
8. Очевидно, що 
при будь-яких значеннях t. Тому залишається вирішити систему нерівностей
(3)
9. a) Ми встановили, що корінь 
квадратного тричлена (2) негативний. У силу теореми Вієта, якщо при цьому 
тобто 
,то корінь 
ненегативний і рішення системи (3) є
б) Якщо ж 
, тобто 
, то 
і розв’язком системи (3) служить будь-яке
Відповідь: якщо 
якщо 
.
Задача 2.1.2.З пункту А в пункт В, відстань між якими дорівнює s, вийшли одночасно два пішоходи; в той же момент з пункту В до пункту А виїхав велосипедист. Проїхавши шлях 
(Від В до А), велосипедист зустрів першого пішохода, а потім, проїхавши всього шляху, він зустрів другого пішохода. На якій відстані 
від них в момент зустрічі знаходився перший пішохід?
Розв’язування:
1. Нехай 
- швидкість першого пішохода, 
- швидкість велосипедиста.
2. Тоді згідно з умовою задачі в момент їх зустрічі виконується рівність
звідки випливає, що 
.
3. Далі, час, який витратив велосипедист на проходження шляху від моменту зустрічі з першим до моменту зустрічі з другим пішоходом, визначається рівністю
4. За цей час перший пішохід пройшов від моменту зустрічі з велосипедистом шлях
5. Таким чином, відстань , на якій знаходився перший пішохід у момент зустрічі велосипедиста з другим пішоходом, дорівнює
Зауважимо, що з умови задачі випливає, що 
, причому якщо 
, то пішоходи можуть йти з однаковими швидкостями. Крім того, 
, тобто перший пішохід далі пункту В не рухається. Тоді, вирішивши нерівність
знаходимо, що 
.
Відповідь : якщо 
, то 
якщо 
, то 
.
Задача 2.1.3.Один сплав складається з двох металів, що входять до нього у відношенні 1: 2, а інший сплав містить ті ж метали у відношенні 2: 3. Зі скількох частин кожного сплаву можна отримати новий сплав, що містить ті ж метали відносно 
?
Розв’язування:
1. Нехай новий сплав містить 
частин першого сплаву і 
частин другого сплаву.
2. Тоді в новому сплаві міститиметься 
частин першого та 
частин другого металу. Таким чином,
3. Виходячи з фізичних міркувань будемо вважати, що 
. Розділивши чисельник і знаменник рівняння (1) на 
, одержимо рівняння
рівносильне наступному:
. (2)
4. При 
рівняння (2) не має рішень.
5. Нехай 
. Тоді 
і, отже, 
, якщо
6. Нерівність (3) рівносильно сукупності двох систем:
а) 
б) 
7. Вирішивши систему а), одержуємо суперечливі нерівності 
8. Вирішивши систему б), знаходимо, що 
Відповідь: новий сплав можна отримати з 
частин першого сплаву і 
частин другого сплаву, де 
Задача 2.1.4.У двох судинах місткістю по 5 л міститься розчин деякої речовини. У першому з них - 3 л розчину з об'ємною часткою речовини, рівної 
, у другому - 4 л розчину з об'ємною часткою, рівної 
. Скільки розчину треба перелити з другого судини в перший, щоб об'ємна частка речовини в першій посудині стала рівною 0.1?
Розв’язування:
1. Згідно з умовою, в першій посудині міститься 
л речовини.
2. Якщо з другим посудини перелити в перший 
л розчину, то в цій кількості розчину міститиметься 
л речовини.
3. Складемо рівняння
звідки знаходимо 
4. Враховуючи тепер, що місткість кожного з судин становить 5 л, приходимо до подвійної нерівності
вирішивши які отримуємо, що 
Відповідь: 
, де 
Задача 2.1.5.Є два шматки сплаву срібла з міддю. Один з шматків містить 
% міді, а інший - 
% міді. У якому відношенні потрібно взяти сплави першого і другого шматків, щоб отримати новий сплав, що містить 
% міді? При яких співвідношеннях між 
розв’язок задачі існує і яку максимальну масу нового сплаву можна отримати, якщо маса першого шматка cкладає 
г, а другого 
г?
Розв’язування:
1. Нехай відношення мас виплавлюваних шматків дорівнює 
2. Тоді, згідно з умовою, одержуємо рівняння
Звідси випливає, що 
3. Розв’язати завдання можливо, якщо 
4. Щоб знайти максимальну масу нового сплаву, розглянемо відношення 
і 
, які з урахуванням отриманих результатів дозволяють записати повну відповідь
Відповідь: 
або 
якщо 
, то максимальна маса дорівнює 
;
якщо 
, то максимальна маса дорівнює 
;
якщо 
, то максимальна маса дорівнює 
Задача 2.1.6.Ціна діаманта пропорційна квадрату його маси. Діамант масою в p карат був розбитий на дві частини, після чого його вартість зменшилася в k раз (1 карат = 0,2 г.). Знайти маси частин, на які був розбитий діамант.
Розв’язування:
1. Нехай одна частина має масу карат, тоді інша має масу 
карат.
2. Ціни цих частин відповідно рівні 
і 
, де - коефіцієнт пропорційності.
3. Так як ціна цілого діаманта дорівнювала 
, то одержимо рівняння
яке після спрощень прийме вигляд
звідки
4. Проводимо дослідження.
а) За змістом завдання 
. Отже, підкореневий вираз буде позитивним, якщо 
тому що 
б) Так як 
(в силу того, що 
), то обидва значення позитивні
в) легко перевірити, що 
Відповідь: 
; 
, де
Задача 2.1.7.В один з двох судин, кожен ємністю по 6 л, налито 4 л 70% розчину кислоти, а в другій - 3 л 90% розчину кислоти (%% - за обсягом). Скільки розчину потрібно перелити з другої судини в першу, щоб у ньому вийшов розчин коцентрація 
.
Розв’язування:
1. Виходячи з умов завдання в першій посудині міститься 2,8 літра кислоти. Далі, єси з другого судини перелити в перший літрів розчину, то в цих літрах буде 0,9х літрів кислоти. Тоді складаємо рівняння
вирішуючи яке, знаходимо, що
2. Враховуючи ємності судин, приходимо до нерівностям 
, або до нерівностей
вирішуючи які, отримуємо, що 
Відповідь: 
, де 