Главная | Обратная связь

Розв’язування олімпіадних задач з параметрами

Задача 2.2.1.Відстань між пунктами А і В дорівнює s. З пункту А в пункт В вилетів вертоліт, а через час t в тому ж напрямку вилетів літак, який наздогнав вертоліт на відстані r від пункту А, потім долетів до пункту В і відразу повернув назад. На відстані r від пункту B літак зустрів вертоліт і повернувся в пункт В пізніше, ніж вертоліт прибув у пункт В. На скільки раніше вертоліт прибув в пункт В, ніж літак повернувся в пункт А?

Розв’язування:

1. Нехай х - швидкість літака, а y - швидкість вертольота

2. Тоді до першої зустрічі літака з вертольотом перший з них, затратив час , а другий – час

3. Оскільки літак вилетів на час t пізніше вертольота, то отримуємо рівняння

4. До моменту другої зустрічі вертоліт знаходився на відстані r від пункту В і пробув у польоті час , а літак подолав відстань і пробув у польоті час

5. Складемо друге рівняння:

6. Далі, відповідно з умовою задачі та прийнятими позначеннями маємо:

а) вертоліт прибув в пункт В через час після вильоту;

б) літак повернувся в пункт А через час після того як вертоліт вилетів з пункту А. Звідси випливає, що

- це та різниця в часі, на яку вертоліт прибув в пункт В раніше, ніж літак повернувся в пункт А

7. Щоб знайти час (3), повернемося у рівняннях (1) і (2). Помноживши обидві частини рівняння (1) на , а рівняння (2) – на r і склавши отримані співвідношення маємо

Або

8. Враховуючи тепер, що з співвідношень (1) і (4) випливає рівність

Отримаємо

9. При цьому виходячи зі змісту завдання повинна виконуватись нерівність і, крім того, позитивною повинна бути і права частина рівності (5). З урахуванням нерівності остання умова буде виконуватися при

Відповідь: , де

Задача 2.2.2.По закінченні першого циклу робіт мається а л води, що містить 100р% шкідливих речовин. Церез кожну годину робіт другого циклу кількість води зменшується на б л, а концентрація шкідливих речовин збільшується на 100q% (від первісної в другому циклі) Коли потрібно закінчити другий цикл робіт, щоб кількість шкідливих речовин в воді, що залишилася було найбільшим.

Розв’язування:

1. Через час t роботи другого циклу кількість води стає рівним , а концентрація шкідливих речовин у ній – . Якщо позначити через y(t) кількість шкідливих речовин у воді в момент часу t, то

2. Зауважимо тут, що , тобто

3. Перепишемо рівняння (1) у вигляді

4. Тоді задача зводиться до відшукання неотрицательного максимуму квадратного тричлена (2) на відрізку

5. В силу фізичний міркувань параметри b і q позитивні, тому гілки параболи (2), розташованої в площині tOy, спрямовані вниз, і, значить, максимальне зна чення квадратного тричлена (2) досягається в точці з абсцисою

6. З цього факту випливає, що якщо , тобто якщо , то другий цікн не почнеться

Тому вважаємо, що aq-bp>0 .Прі такої умови з урахуванням (3) і (4) приходимо до розгляду нерівності

звідки випливає, що

7. Якщо ж припустити, що , то, очевидно, максимальне значення квадратного тричлена (2) досягає в точки з абсцисою

Відповідь: при aq – bp > 0 і час

при aq – bp > 0 і час .