Измеренных величин.
В практике геодезических измерений определяемые величины обычно являются функциями других, непосредственно измеряемых величин. Рассмотрим функцию u независимых переменных x, y, z, … u = f (x,y,z…). (5.5) Продифференцируем функцию (5.5) по всем переменным и заменим дифференциалы du, dx, dy, dz, …. погрешностями Du, Dx,Dy,Dz, …. Получили выражение случайной погрешности Du в зависимости от случайной комбинации погрешностей Dx,Dy,Dz, …. Положим, что имеем n таких комбинаций, которым соответствует n выражений: (i = 1, 2, …, n) Возведем полученные выражения в квадрат, сложим и разделим на n: , где квадратными скобками обозначены суммы. Устремим число комбинаций в бесконечность (n ® ¥) и, воспользовавшись выражениями (5.4) и (5.3), получим: , , , , . И окончательно (5.6) Итак, квадрат средней квадратической погрешности функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждой переменной, умноженных на их средние квадратические погрешности. Частные случаи. 1. Функция u является суммой переменных x , y, z: u = x + y + z. В этом случае =1, =1, =1. Следовательно = + + . 2. Функция u является разностью переменных x и y: u = x - y. В этом случае =1, =-1. Следовательно = + . 3. Функция u имеет вид: u = k× x, где k – постоянный множитель. Теперь = k, поэтому = k2× и mu = k× mx. 4. Функция u является линейной функцией от x, y, z, …: u = k1 x + k2 y + k3 z …, где ki постоянные множители. Теперь частные производные равны =k1, = k2, = k3. Поэтому . Рассмотрим примеры. Пример 1. Определить среднюю квадратическую погрешность превышения, вычисленного по горизонтальному расстоянию d=124,16 м и углу наклона n=2°16´, если md = 0,06 м, а mn = 1´. Превышение вычисляют по формуле h = d tgν. Продифференцируем формулу по переменным d и n: , . Используя формулу общего вида (5.6) получим Подставляя исходные данные, найдем где 3438¢ - число минут в радиане. И окончательно mh=0,036 .м. Пример 2. При геометрическом нивелировании (см. раздел 9.2) превышение вычисляют как разность отчетов по рейкам h = a - b. Отчеты берут с точностью ma = mb = 2 мм. Находим среднюю квадратическую погрешность превышения = 2,8 мм Пример 3. Выведем формулу допустимой угловой невязки замкнутого теодолитного хода (см. раздел 9.4). Невязку вычисляют по формуле fb= b1+ b2+ ¼+ bn-180°(n-2), где bi – измеренные углы (i = 1, 2, ¼, n) и n – их число. Невязка - результат погрешностей в углах bi. Поэтому средняя квадратическая погрешность невязки равна mf = = , где m1 = m2 =¼ = mn = m – средняя квадратическая погрешность измерения угла. Примем ее равной m = 0,5¢. Допуском угловой невязки (fb)доп служит предельная погрешность (fb)пред=2mf. Получаем формулу (fb)доп = 1¢ . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|