Главная | Обратная связь

Приближённое значение вероятности х можно найти по теореме Лапласа

причём ошибка не превосходит 0,0009. Найденный результат показывает, что событие 8 £ m £ 32 практически достоверно. Это самый простой, но типичный пример использования предельных теорем теории вероятностей.

К числу основных формул элементарной теории вероятностей относится также так называемая формула полной вероятности: если события A1, A2,..., Ar попарно несовместны и их объединение есть достоверное событие, то для любого события В его вероятность равна сумме

Теорема умножения вероятностей оказывается особенно полезной при рассмотрении составных испытаний. Говорят, что испытание Т составлено из испытаний T1, T2,..., Tn-1, Tn, если каждый исход испытания Т есть совмещение некоторых исходов Ai, Bj,..., Xk, Yl соответствующих испытаний T1, T2,..., Tn-1, Tn. Из тех или иных соображений часто бывают известны вероятности

P (Ai), P (Bj/Ai), …, P (Yl/Ai Ç Bj Ç … Ç Xk). (5)

По вероятностям (5) с помощью теоремы умножения могут быть определены вероятности Р (Е) для всех исходов Е составного испытания, а вместе с тем и вероятности всех событий, связанных с этим испытанием (подобно тому, как это было сделано в разобранном выше примере). Наиболее значительными с практической точки зрения представляются два типа составных испытаний: а) составляющие испытания не зависимы, то есть вероятности (5) равны безусловным вероятностям P (Ai), P (Bj),..., P (Yl); б) на вероятности исходов какого-либо испытания влияют результаты лишь непосредственно предшествующего испытания, то есть вероятности (5) равны соответственно: P (Ai), P (Bj /Ai),..., P (Yi / Xk). В этом случае говорят об испытаниях, связанных в цепь Маркова. Вероятности всех событий, связанных с составным испытанием, вполне определяются здесь начальными вероятностями Р (Аi) и переходными вероятностями P (Bj / Ai),..., P (Yl / Xk)

Случайные величины. Если каждому исходу Er испытания Т поставлено в соответствие число х,, то говорят, что задана случайная величина X. Среди чисел x1, х2,......, xs могут быть и равные; совокупность различных значений хг при r = 1, 2,..., s называют совокупностью возможных значений случайной величины. Набор возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей называется распределением вероятностей случайной величины. Так, в примере с бросанием двух костей с каждым исходом испытания (i, j) связывается случайная величина Х = i + j - сумма очков на обеих костях. Возможные значения суть 2, 3, 4,..., 11, 12; соответствующие вероятности равны 1/36, 2/36, 3/36,..., 2/36, 1/36.

При одновременном изучении нескольких случайных величин вводится понятие их совместного распределения, которое задаётся указанием возможных значений каждой из них и вероятностей совмещения событий

{X1 = x1}, {X2 = x2}, …, {Xn = xn}, (6)

где xk - какое-либо из возможных значений величины Xk. Случайные величины называются независимыми, если при любом выборе xk события (6) независимы. С помощью совместного распределения случайных величин можно вычислить вероятность любого события, определяемого этими величинами, например события a < X1 + Х2 +... + Xn < b и т.п

Часто вместо полного задания распределения вероятностей случайной величины предпочитают пользоваться небольшим количеством числовых характеристик. Из них наиболее употребительны математическое ожидание и дисперсия.

В число основных характеристик совместного распределения нескольких случайных величин, наряду с математическими ожиданиями и дисперсиями этих величин, включаются коэффициенты корреляции и т.п. Смысл перечисленных характеристик в значительной степени разъясняется предельными теоремами.

Схема испытаний с конечным числом исходов недостаточна уже для самых простых применений теории вероятностей. Так, при изучении случайного разброса точек попаданий снарядов вокруг центра цели, при изучении случайных ошибок, возникающих при измерении какой-либо величины, и т.д. уже невозможно ограничиться испытаниями с конечным числом исходов. При этом в одних случаях результат испытания может быть выражен числом или системой чисел, в других - результатом испытания может быть функция (например, запись изменения давления в данной точке атмосферы за данный промежуток времени), системы функций и т.п. Следует отметить, что многие данные выше определения и теоремы с незначительными по существу изменениями приложимы и в этих более общих обстоятельствах, хотя способы задания распределений вероятностей изменяются.

Наиболее серьёзное изменение претерпевает определение вероятности, которое в элементарном случае давалось формулой (2). В более общих схемах, о которых идёт речь, события являются объединениями бесконечного числа исходов (или, как говорят, элементарных событий), вероятность каждого из которых может быть равна нулю. В соответствии с этим свойство, выраженное теоремой сложения, не выводится из определения вероятности, а включается в него.

Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым. Основные черты этой схемы следующие. При изучении какой-либо реальной задачи - методами теории вероятностей прежде всего выделяется множество U элементов u, называемых элементарными событиями. Всякое событие вполне описывается множеством благоприятствующих ему элементарных событий и потому рассматривается как некое множество элементарных событий. С некоторыми из событий А связываются определённые числа Р (A), называемые их вероятностями и удовлетворяющие условиям

1. 0 £ Р (А) £ 1,

2. P (U) = 1,

3. Если события A1,..., An попарно несовместны и А - их сумма, то

Р (А) = Р (A1) + P (A2) + … + Р (An).

Для создания полноценной математической теории требуют, чтобы условие 3 выполнялось и для бесконечных последовательностей попарно несовместных событий. Свойства неотрицательности и аддитивности есть основные свойства меры множества. Теория вероятностей может, таким образом, с формальной точки зрения рассматриваться как часть меры теории. Основные понятия теории вероятностей получают при таком подходе новое освещение. Случайные величины превращаются в измеримые функции, их математические ожидания - в абстрактные интегралы Лебега и т.п. Однако основные проблемы теории вероятностей и теории меры различны. Основным, специфическим для теории вероятностей является понятие независимости событий, испытаний, случайных величин. Наряду с этим теория вероятностей тщательно изучает и такие объекты, как условные распределения, условные математические ожидания и т.п.

 

Предельные теоремы

 

При формальном изложении теории вероятностей предельные теоремы появляются в виде своего рода надстройки над ее элементарными разделами, в которых все задачи имеют конечный, чисто арифметический характер. Однако познавательная ценность В. т. раскрывается только предельными теоремами. Так, Теорема Бернулли показывает, что при независимых испытаниях частота появления какого-либо события, как правило, мало отклоняется от его вероятности, а Теорема Лапласа указывает вероятности тех или иных отклонений. Аналогично смысл таких характеристик случайной величины, как её математическое ожидание и дисперсия, разъясняется законом больших чисел и центральной предельной теоремой

Пусть

X1, Х2,..., Xn,... (7)

- независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение вероятностей с EXk = а, DXk = s2 и Yn - среднее арифметическое первых n величин из последовательности (7):

Yn = (X1 + X2 + … +Xn)/n.

В соответствии с законом больших чисел, каково бы ни было e > 0, вероятность неравенства |Yn - a| £ e имеет при n ®¥ пределом 1, и, таким образом, Yn как правило, мало отличается от а. Центральная предельная теорема уточняет этот результат, показывая, что отклонения Yn от а приближённо подчинены нормальному распределению со средним 0 и дисперсией s2 / n. Таким образом, для определения вероятностей тех или иных отклонений Yn от а при больших n нет надобности знать во всех деталях распределение величин Xn, достаточно знать лишь их дисперсию.

В 20-х гг. 20 в. было обнаружено, что даже в схеме последовательности одинаково распределённых и независимых случайных величин могут вполне естественным образом возникать предельные распределения, отличные от нормального. Так, например, если X1 время до первого возвращения некоторой случайно меняющейся системы в исходное положение, Х2 - время между первым и вторым возвращениями и т.д., то при очень общих условиях распределение суммы X1 +... + Xn (то есть времени до n-говозвращения) после умножения на n 1/a (а - постоянная, меньшая 1) сходится к некоторому предельному распределению. Таким образом, время до n-го возвращения растет, грубо говоря, как n 1/a, то есть быстрее n (в случае приложимости закона больших чисел оно было бы порядка n).

Механизм возникновения большинства предельных закономерностей может быть до конца понят лишь в связи с теорией случайных процессов.

 

Случайные процессы

В ряде физических и химических исследований последних десятилетий возникла потребность, наряду с одномерными и многомерными случайными величинами, рассматривать случайные процессы, то есть процессы, для которых определена вероятность того или иного их течения. Примером случайного процесса может служить координата частицы, совершающей броуновское движение. В В. т. случайный процесс рассматривают обычно как однопараметрическое семейство случайных величин Х (t). В подавляющем числе приложений параметр t является временем, но этим параметром может быть, например, точка пространства, и тогда обычно говорят о случайной функции. В том случае, когда параметр t пробегает целочисленные значения, случайная функция называется случайной последовательностью. Подобно тому, как случайная величина характеризуется законом распределения, случайный процесс может быть охарактеризован совокупностью совместных законов распределения для X (t1), X (t2),..., X (tn)для всевозможных моментов времени t1, t2,..., tn при любом n > 0. В настоящее время наиболее интересные конкретные результаты теории случайных процессов получены в двух специальных направлениях.

Исторически первыми изучались марковские процессы. Случайный процесс Х (t) называется марковским, если для любых двух моментов времени t0 и t1 (t0 < t1) условное распределение вероятностей X (t1) при условии, что заданы все значения Х (t) при t £ t0, зависит только от X (t0) (в силу этого марковские случайные процессы иногда называют процессами без последействия). Марковские процессы являются естественным обобщением детерминированных процессов, рассматриваемых в классической физике. В детерминированных процессах состояние системы в момент времени t0 однозначно определяет ход процесса в будущем; в марковских процессах состояние системы в момент времени t0 однозначно определяет распределение вероятностей хода процесса при t > t0, причём никакие сведения о ходе процесса до момента времени t0 не изменяют это распределение.

Вторым крупным направлением теории случайных процессов является теория стационарных случайных процессов. Стационарность процесса, то есть неизменность во времени его вероятностных закономерностей, налагает сильное ограничение на процесс и позволяет из одного этого допущения извлечь ряд важных следствий (например, возможность так называемого спектрального разложения

где z (l) случайная функция с независимыми приращениями). В то же время схема стационарных процессов с хорошим приближением описывает многие физические явления.

Теория случайных процессов тесно связана с классической проблематикой предельных теорем для сумм случайных величин. Те законы распределения, которые выступают при изучении сумм случайных величин как предельные, в теории случайных процессов являются точными законами распределения соответствующих характеристик. Этот факт позволяет доказывать многие предельные теоремы с помощью соответствующих случайных процессов.