 |
|
Числовые характеристики дискретной случайной величины
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Если дискретная случайная величина принимает только значения x1, x2, ..., xn, вероятности которых соответственно равны p1, p2, ..., pn . Тогда математическим ожидание определяется равенством:
| M (X) = x1p1 + x2p2 + ...+ xnpn. | (3.1) |
Пример 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения:
| Х | |||
| p | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
Решение. По формуле (3.1) находим математическое ожидание:
M (X) = 5*0,2 + 4*0,5 + 3*0,3 = 3,3.
Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то
| (3.2) |
На практике часто приходится оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
| D (X) = M [X - M (X)]2. | (3.3) |
Пример 2. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:
| Х | |||
| p | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Решение. По формуле (3.1) находим математическое ожидание:
M (X) = 1*0,3 + 2*0,5 + 5*0,2 = 2,3.
Используя формулу (3.3) записываем все возможные значения квадрата отклонения:
[X1 - M (X)]2 = (1 - 2,3)2 = 1,69;
[X2 - M (X)]2 = (2 - 2,3)2 = 0,09;
[X3 - M (X)]2 = (5 - 2,3)2 = 7,29.
Тогда закон распределения квадрата отклонения имеет следующий вид:
| [X - M (X)]2 | 1,69 | 0,09 | 7,29 |
| p | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
По формуле (3.3) находим дисперсию:
D (X) = 1,69*0,3 + 0,09*0,5 + 7,29*0,2 = 2,01.
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:
| D (X) = M (X2) - [M (X)]2 | (3.4) |
Пример 3. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:
| Х | |||
| p | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
Решение. По формуле (3.1) находим математическое ожидание:
M (X) = 2*0,1 + 3*0,6 + 5*0,3 = 3,5.
Закон распределения случайной величины X2:
| Х2 | |||
| p | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
Математическое ожидание М(Х2):
M (X) = 4*0,1 + 9*0,6 + 25*0,3 = 13,3.
По формуле (3.4) находим дисперсию:
D (X) = 13,3 - (3,5)2 = 1,05.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:
| (3.5) |