Здавалка
Главная | Обратная связь

Условная вероятность . теорема умножения вероятностей зависимых событий



События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Условной вероятностью РА(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло. Теперь познакомимся с теоремами, которые позволяют вычислить вероятность совместного появления двух событий. В первой теореме речь идет о зависимых событиях, во второй- о независимых. Теорема1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)РА(В).

Доказательство:

Пусть в результате опыта возможны N исходов, из них М благоприятствуют появлению события А, их этихМ- К исходов благоприятствуют событию В. Одновременному появлению событий А и В благоприятствуют L исходов из К.. По классической формуле имеем: Р(АВ)=L/N. Умножим и разделим на М:

Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при условии, что А уже произошло, т.е. условная вероятность события В, что и требовалось доказать.

4.Формула полной вероятности. Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Пример. Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Решение: обозначим событие А={выбрана деталь отличного качества}, Hi={выбранная деталь изготовлена в i цехе}, i=1, 2, 3. Тогда

 

 

По условию задачи P(A!H1) = P(A!H3) = 0,9, P(A!H2)=0,7

По формуле полной вероятности находим искомую вероятность:

Формула байенса.

Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Событие A уже произошло. Требуется вычислить условные вероятности гипотез (при условии, что событие А произошло).

 

 

Пример 6.1

Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает 5% брака, второй - 4%. Для контроля отобрано 20 деталей с первого цеха и 10 деталей со второго. Эти детали смешаны в одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она из цеха №1?

Решение

Событие А – деталь оказалась бракованной.

Гипотеза Н1 – деталь изготовлена в 1-м цехе; Р(Н1) = 2/3

Гипотеза Н2 – деталь изготовлена во 2-м цехе; Р(Н2) = 1/3

Условные вероятности события А: PH1(A)=0,05; PH2(A)=0,04

Требуется найти вероятность первой гипотезы в предположении, что событие А уже произошло:

PA(H1) - ?

Используем формулу вероятности гипотез Бейеса, подставив в знаменатель формулу полной вероятности:







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.