Уравнение линии регрессии.

Регрессия.

– св, определенные на 1 вероятностном пространстве, К- класс функций. Будем называть св представленную в виде регрессией Y на X если выполнено

Уравнение линии регрессии.

тогда уравнение линии регрессии Y на X: ; X на Y:

Элементы мат статистики.

По данным наблюдений определяются вероятности определенных случайных событий, делаются вывод о характеристиках наблюдаемых величин, проверяются гипотезы о распределениях наблюдаемой величины и о характеристике зависимости между разными случайными величинами.

1) X –нсв, тогда выборкой объема n из Х назовем , где – независимая случайная величина, имеющая то же распределение, что и Х.

2) Th об эмпирической функции распределения

– выборка из св Х. эмпирическая функция распределения построенная по данной выборке, тогда для

Доказательство: Возьмем в качестве А взять событие {X<x}, то Р – вероятность события А. Если произведено n независимых испытаний, то относительная частота наступления где m- число X_i для которых X_i<x

тогда

3) – выборка из св Х , ϴ - некий параметр распределения Х, тогда оценкой ϴ будем называть св

4) – выборка , ϴ - некий параметр распределения , будем называть оценку не смещенной, если

5) – выборка , ϴ - некий параметр распределения , будем называть оценку самостоятельной, если

6) – выборка , ϴ - некий параметр распределения, не смещенная, тогда ее можно назвать эффективной, если она имеет наименьшую Dϴ среди других.

7) – выборка из св Х, тогда выборочным средним назовем

8)Th о выборочном среднем

Х – случайная величина имеющая МХ=а тогда будет не смещенная, самостоятельная и эффективная оценка параметра а.

Доказательство:

Не смещенность

Самостоятельность , независимы, поэтому по закону больших чисел, если Х имеет DX или по Th Хинчина, если ее нет, мы получим

т.е.

9) – выборка из св Х, тогда выборочной дисперсией данной выборки назовем

10) Th о выборочной дисперсии X – св, имеющая DX= тогда S² будет самостоятельной и смещенной оценкой.

11) – выборка из св Х, тогда исправленной выборочной дисперсией данной выборки назовем

12) Th о исправленной выборочной дисперсии X – св, будет самостоятельной и несмещенной оценкой.

13) – выборка из св Х, а=MX, тогда уточненной выборочной дисперсией назовем

14) Соответствие между эмпирическими и теоретическими св.

Теоретические характеристики	Эмпирические характеристики
Функция распределения	Э.Ф.Р.
Плотность распределения	Гистограмма
Математическое ожидание MX	Выборочное среднее
Дисперсия DX	1) Выборочная S² 2) Исправленная 3) Уточненная

Специальные распределения статистики

1) , имеющие стандартное нормальное распределение, тогда св

–распределение по закону кхи квадрат с n степенями свободы. Плотность распределения имеет вид

2) , с независимым стандартным нормальное распределение, тогда св

распределена по закону Стьюдента с n степенями свободы

при n ∞это распределение близко к стандартному нормальному распределению.

Интервальные оценки

1) - параметр распределения Х 0<P<1, тогда доверительным интервалом для параметра ϴ с доверительной вероятностью Р построенной по выборке из Х

Называется интервал с границами α и такой что

p{ α p назовем доверительной вероятностью.

*не всегда удается достичь точного равенства, поэтому как правило

p{ α

2) - параметр распределения св Х, а –выборка из Х. Тогда достаточной статистикой для параметра ϴ построенной по выборке св распределение, которое известно и не зависит от ϴ.

Построение доверительного интервала для а при известном

–выборка, Х распределена нормально с параметрами а и . Тогда достаточной статистикой для «а» назовем где – исправленная выборочная дисперсия

Y будет иметь распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы. Р_у(х) является четной => можно выбрать симметричный интервал ,так что р={-b<Y<b} число b определяется по таблице в Гмурмане. Доверительный интервал будет иметь вид

Построение доверительного интервала для при известном а

–выборка –уточненная выборочная дисперсия тогда достаточной статистикой будем считать которая имеет хи квадрат распределение. Числа а и b, для которых выполнено р={a<Y<b} можно подобрать так, что это будет эквивалентно q по Гмурмону взяв в расчет P и число степеней свободы.

Построение доверительного интервала для при неизвестном а

тогда оценка будет иметь вид

Проверка статистических гипотез

1) Статистическая гипотеза – любое предположение о виде распределения Х или о ее параметрах. Она будет простой, если при ее выполнение, распределение Х становится однозначным.

2) Ошибка 1 рада: непринятие правильной гипотезы.

3) Ошибка 2 рода: принятие не верной гипотезы.

4) Проверка гипотеза:

Гипотеза	Принимается	Не принимается
Истина	Правильное решение	Ошибка 1 рода
Ложь	Ошибка 2 рода	Правильное решение

5) Для того что бы принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу, по выборке

Составляется св , которая при истинности гипотезы имеет какое-то известное распределение. Задается 0<α<1 называемый уровнем значимости, как правило выбирают α близким к 0. По известному закону распределения для ϴ находится критическая область такая что

Если выбранное значение ϴ оказывается в критической области, то гипотеза отвергается, а если не попадает, то считается, что гипотеза не противоречит данным.

6) Правило, по которому принимается или отвергается называется Критерием.

7) Вероятность ошибки 1 рода назовем Уровнем значимости для данного критерия, а вероятность совершить ошибку 2 рода называется мощностью.

Проверка гипотезы о виде распределения:

1) Критерий (Пирсона)

Имеется вариационный ряд (дискретный\интервальный) и проверяется гипотеза о том, что Х имеет функцию распределения . Для применения критерия Пирсона исходный вариационный ряд записывают в интервальной форме. Для каждого интервала

[α_i,β_i] вычисляются теоретические вероятности попадания Х в интервал по формуле

После вычисления производят вычисление теоретических частот попадания

n – общее число наблюдений после составляется св

–эмпирическая частота. Если гипотеза верна, то данная св имеет χ² распределение с

m-k-1 степенями свободы. Где m – число интервалов, k – число параметров распределения определенной по выборке. По числу степеней свободы и заданному уровню значимости α определяется число .

Условия применения: 1) В каждом интервале должно быть не менее 5 значений (если меньше, то соединяются соседние) 2) Общее число набл не <30. 3)Интервал должны быть от -∞ до + ∞

(см на стр. 2)

Критерий Колмогорова

Для применения кк по результатам наблюдения составляют , после находится св

Th Колмогорова

Для любой св Х и >0 будет выполняться

Если гипотеза отвергается. Иначе не противоречит данным.