 |
|
Математический анализ. Функции. Теория пределов.
Вопросы к зачету
Математический анализ. Теория пределов. Дифференциальное исчисление. Интегральное исчисление.
1. Функция. График функции. Способы задания. Свойства функций (четность, нечетность, монотонность, периодичность, ограниченность). Обратная функция. Сложная функция.
2. Основные элементарные функции, их свойства и графики (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические).
3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Геометрический смысл предела.
4. Предел функции на бесконечности. Геометрический смысл предела.
5. Предел функции в точке. Геометрический смысл предела.
6. Бесконечно малые величины. Свойства. Бесконечно большие величины. Свойства. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.
7. Основные теоремы о пределах. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.
8. Непрерывная функция в точке (два определения). Свойства функций непрерывных в точке.
9. Функция непрерывная на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке.
10. Производная функции. Геометрический и физический смысл.
11. Правила вычисления производной. Производная сложной функции.
12. Таблица производных. Производная обратной функции.
13. Уравнение касательной. Примеры.
14. Дифференциал функции. Определение. Формула.
15. Правило Лопиталя.
16. Условие возрастания и убывания функции. Пример.
17. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
18. Асимптоты графика функции.
19. Исследование функции и построение графика.
20. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Теорема о первообразной.
21. Свойства интеграла.
22. Таблица интегралов. Доказательство формул.
23. Метод разложения подынтегральной функции. Примеры.
24. Интегрирование методом замены переменной (подстановки). Внесение под знак дифференциала.
25. Метод интегрирования по частям. Формула. Примеры.
26. Простые дроби и их интегрирование. Примеры.
27. Интегрирование неправильных рациональных дробей. Выделение целой части.
28. Интегрирование иррациональных выражений.
29. Интегрирование некоторых видов тригонометрических функций.
30. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение определенного интеграла.
31. Условие интегрируемости функции. Свойства определенных интегралов.
32. Формула Ньютона-Лейбница.
33. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Примеры.
34. Приложение определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.
35. Приложение определенного интеграла. Вычисление объемов тел.
Учебники:
1. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. – М.: Высшая школа. 2008. – 479 с.
2. Баврин И.И. Высшая математика: Учеб для. Вузов – 4-е изд., испр. и доп - М.: Академия, 2004.-616 с. – (Высшее профессиональное образование).
3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб.пособие для вузов. В 2 ч.Ч.1:.-М., 2005. - 304с. 4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб.пособие для вузов. В 2 ч.Ч.2:.-М., 2005. - 415с.
Виды задач
Математический анализ. Функции. Теория пределов.
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность, нечетность, монотонность, ограниченность.
3. Построить график функции с помощью преобразований.
3. Вычислить пределы функции, раскрывая неопределенности вида 
; 
; 
.
4. Вычислить предел функции, используя первый и второй замечательный пределы.
5. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и указать их вид.