 |
|
Образец выполнения типового расчёта
Типовой расчёт.
Ряды.
Образец выполнения типового расчёта
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: 
.
Решение. Во-первых, данный ряд является знакочередующимся, причём первый множитель является отрицательным. Поэтому формула общего члена ряда должна содержать множитель 
. Во-вторых, все члены ряда представляют собой дроби со знаменателем, равным единице. В-третьих, знаменатели каждой дроби являются квадратами последовательных натуральных чётных чисел: 
и так далее. Таким образом, получим формулу: 
.
Задание 2. Найти 8-й член числового ряда 
.
Решение. 
.
Задание 3. Найти частичную сумму 
числового ряда 
.
Решение: 
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. 
.
Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: 
. Предел общего члена ряда не равен нулю, следовательно, данный ряд является расходящимся.
4.2. 
.
Решение. Данный ряд относится к типу обобщённых гармонических рядов 
, причём 
, значит, ряд расходится.
4.3. 
.
Решение. Используем признак Даламбера. Найдём 
. Здесь 
. Получим: 
. Согласно признаку Даламбера, данный ряд расходится.
4.4. 
.
Решение. Применим радикальный признак Коши. Найдём 
. Получим: 
. Согласно признаку Коши, данный ряд сходится.
4.5. 
.
Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: 
. Числитель данной дроби стремится к бесконечности, а знаменатель – ограниченная величина, принимающая, в зависимости от 
значения различных знаков. Предел общего члена ряда, таким образом, не определён (и, естественно, не равен нулю), следовательно, данный ряд является расходящимся.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. 
.
Решение. Запишем последовательность абсолютных величин членов данного ряда. Получим: 
. Члены ряда убывают по абсолютной величине. Теперь найдём предел общего члена ряда, составленного из абсолютных величин. Получим: 
- как предел обобщённого гармонического ряда при 
. Таким образом, выполняются оба условия признака Лейбница, и данный ряд является сходящимся. Поскольку выше мы установили сходимость ряда, составленного из абсолютных величин, то данный ряд сходится абсолютно.
5.2. 
.
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
. Он будет сходящимся, так как члены его составляют геометрическую прогрессию, знаменатель которой по модулю меньше единицы. Следовательно, данный ряд сходится, и сходится абсолютно.
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда: 
Решение. Запишем коэффициент данного ряда: 
. Найдём радиус сходимости данного ряда: 
. Интервал сходимости данного ряда будет 
. Проверим поведение ряда в конечных точках данного интервала.
Пусть 
. Получим ряд 
. Проверим его сходимость по признаку Даламбера. 
. Ряд расходится, следовательно, точка не принадлежит области сходимости.
Пусть 
. Получим ряд 
. Получили знакочередующийся ряд, расходимость которого легко устанавливается с помощью признака Лейбница (не выполняется первое условие). То есть, точка также не входит в область сходимости. Итак, область сходимости данного ряда - 
.
Вариант № 1.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: 
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда 
.
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда 
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. 
. 4.2. 
. 4.3. 
. 4.4. 
. 4.5. .
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. 
. 5.2. 
.
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда: 
Вариант № 2.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: 
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда 
.
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда 
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. 
. 4.2. . 4.3. 
. 4.4. 
. 4.5. 
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. 
. 5.2. 
.
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда: 
Вариант № 3.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: 
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда 
.
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда 
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. 
. 4.2. 
. 4.3. 
. 4.4. 
. 4.5. 
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. 
. 5.2. 
.
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда: 
Вариант № 4.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: 
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда 
.
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда 
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. 
. 4.2. 
. 4.3. 
. 4.4. 
. 4.5. 
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. 
. 5.2. 
.
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда: 
Вариант № 5.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: 
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда 
.
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда 
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. 
. 4.2. 
. 4.3. 
. 4.4. 
. 4.5. 
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. 
. 5.2. 
.
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда: 
Вариант № 6.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: 
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда 
.
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда 
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. 
. 4.2. 
. 4.3. 
. 4.4. 
. 4.5. 
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. 
. 5.2. 
.
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда: 
Вариант № 7.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: 
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда 
.
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда 
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. 
. 4.2. 
. 4.3. 
. 4.4. 
. 4.5. 
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. 
. 5.2. 
.
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда: 
Вариант № 8.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: 
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда .
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда 
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. 
. 4.2. 
. 4.3. 
. 4.4. 
. 4.5. 
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. 
. 5.2. 
.
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда: 
Вариант № 9.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: 
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда 
.
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда 
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. 
. 4.2. 
. 4.3. 
. 4.4. 
. 4.5. 
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. 
. 5.2. 
.
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда: 
Вариант № 10.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: 
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда 
.
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда 
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. 
. 4.2. 
. 4.3. 
. 4.4. 
. 4.5. 
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. 
. 5.2. 
.
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда: 
Вариант № 11.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда .
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда .
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. . 4.5. .
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. . 5.2. .
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:
Вариант № 12.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда .
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда .
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. . 4.5. .
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. . 5.2. .
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:
Вариант № 13.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда .
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда .
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. . 4.5. .
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. . 5.2. .
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:
Вариант № 14.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда .
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда .
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. . 4.5. .
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. . 5.2. .
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:
Вариант № 15.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда .
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда .
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. . 4.5. .
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. . 5.2. .
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда: