Статистическое определение вероятности

Естественно поставить вопрос: для всякого ли случайного события возможно применить классический или геометрический подход к вычислению его вероятности.

Очевидно, ответ будет отрицательным. Например, если опыт состоит в бросании несимметричной монеты, то события «выпадения герба» и «выпадения решки» уже не будут случаями, так как они неравновозможны. Основное применение классического подхода к определению вероятности относится к области азартных игр. Большинство современных практических вероятностных задач не сводится к схеме случаев.

Практическая недостаточность классического подхода заставила искать другие подходы к определению вероятности. Исторически следующим подходом является подход, связанный с определением вероятностей через относительные частоты случайных событий в массовых случайных явлениях. Этот подход связывают с немецкой математической школой, а именно с именем Рихарда фон Мизеса (1883-1953).

Прежде чем изучать общую суть этого статистического подхода, рассмотрим некоторые примеры.

В родильном доме новорожденные дети регистрируются по полу в том порядке, в котором они рождаются. Мальчики и девочки (М и Д) следуют друг за другом без видимой закономерности, например:

ДММДМДММДМДДМММД...

Пронаблюдав эту случайную последовательность, мы не можем предсказать, кто родится следующим. Однако наблюдения показывает, что закономерность особого рода существует; и она состоит в том, что число мальчиков больше числа девочек и отношение этих чисел в длинной последовательности мало отличается от отношения 51,5:48,5.

Пусть за некоторое время мальчиков родилось 1506959, а девочек - 1427901, всего детей родилось 2934860. Принято 1506959 называть частотой рождения мальчиков, 1427901 - частотой рождения девочек. Отношение числа родившихся мальчиков к общему числу новорожденных есть относительная частота рождения мальчиков, а отношение - относительная частота рождения девочек.

Приведенный пример иллюстрирует статистический подход к определению вероятностей случайных событий. Если число новорожденных велико, то в качестве вероятности рождения мальчика можно принять отношение числа мальчиков к общему числу новорожденных.

Рассмотрим теперь уже знакомый опыт с урной, в которой всего N шаров различного цвета, из которых белых шаров N_b.

В случае хорошей перемешанности шаров и выбора наугад, вероятность появления белого шара, в соответствии с классической формулой, равна:

Попытаемся и в этой ситуации применить статистический подход к определению вероятности. Изменим рассмотренный выше эксперимент следующим образом. Вытаскиваем шар, замечаем его цвет и фиксируем Б, если шар белый, и Д, если он другого цвета. Вытащенный шар мы возвращаем обратно в урну, перемешиваем шары, затем снова наугад вытаскиваем шар, отмечая цвет этого второго шара, Б или Д. При этом будет образовываться некоторая последовательность символов Б и Д.

Какова относительная частота белых шаров, когда эта последовательность будет неограниченно возрастать? Если шары идентичны (кроме цвета), они неразличимы человеком, который их вытаскивает (человека можно заменить механизмом типа лототрона), то нет причин, почему один шар будет предпочтен другому, и естественно ожидать, что в конечном счете каждый шар будет вытащен приблизительно одинаково часто, если число вытаскиваний будет велико. Пусть, например, произведено 10000 испытаний по извлечению шара. Тогда мы можем полагать, что каждый из N шаров появится приблизительно раз.

Белых шаров в урне N_b потому за 10000 вытаскиваний мы ожидаем достать белый шар раз. Это ожидаемая частота появления белых шаров. Чтобы получить относительную частоту, необходимо разделить частоту встречаемости белого шара на число испытаний Таким образом, мы пришли к утверждению: относительная частота при большом числе вытаскиваний или статистическая вероятность появления белых шаров будет близка к отношению

Полученное соотношение показывает, что статический подход к определению вероятности в случае равновозможных исходов опыта совпадает с результатом классического определения вероятности одного и того же случайного события.

Опишем еще раз сущность статического подхода определения вероятности произвольного массового случайного события.

Пусть производится серия из n одинаковых случайных опытов, относительной частотой (частостью) некоторого события A в этой серии называется отношение числа опытов n_A, в которых это событие произошло, к общему числу произведенных опытов.

Статистической вероятностью P(А) случайного события A называется относительная частота события A (при болшом числе испытаний n):

Несмотря на внешнее сходство полученного выражения с соотношением, используемым в классическом определении вероятности, эти формулы различны по существу.

Формула вычисления вероятности, основанная на классическом подходе, используется для теоретического рассмотрения. Для ее применения проведение опытов не требутся. Статистический подход по существу основывается на экспериментах, данные которых и позволяют определить вероятности случайных событий.

Таким образом, в основе статистического подхода лежит факт, состоящий в том, что частость появления случайного события с ростом числа опытов приближается к некоторому фиксированному числу, лежащему между 0 и 1. Этот факт неоднократно проверялся учеными разных стран.

Чтобы проверить это обстоятельство французский ученый Бюффон в XVIII веке провел 4040 подбрасываний монеты, из них герб выпал 2048 раз, так что статистическая вероятность герба оказалось равно . Английский ученый Пирсон провел 24000 бросаний монеты; герб выпал 12012 раз, так что .

Итак, близость между относительной частотой события и его вероятностью проявляется тем заметнее, чем большее число опытов произведено. Случайные обстоятельства, сопровождающие каждый отдельный опыт, в массе опытов взаимно погашаются, и частость постепенно стабилизируется, приближаясь с незначительным колебанием к некоторой постоянной величине.

Свойство устойчивости частостей, позволяющее ввести определение вероятности не только в опытах со схемой случаев, но и для многих массовых явлениях. Свойством устойчивости частостей обладают, например, такие явления, как отказы технических устройств; брак на производстве; ошибки механизмов; заболеваемость и смертность населения; метеорологические и биологические явления и т. д. Эта устойчивость и позволяет применять вероятностные методы для изучения таких случайных явлений и их прогнозирования.

Существуют; однако, и такие случайные явления, для которых устойчивость частостей сомнительна или просто не существует. Это такие явления, где бессмысленно говорить о большом числе однородных опытов. В подобных явлениях тоже наблюдаются события, которые кажутся более или менее правдоподобными, но приписывать им какие-либо вероятности в том понимании, которое было описано выше, нельзя.

Так, вряд ли возможно и нужно вычислять вероятность того, что студент сдаст экзамен по теории вероятностей на отлично. Еще менее разумно вычислять, например, вероятность того, есть ли органическая жизнь на Марсе (она либо есть, либо ее нет).

Статистический подход весьма существенно расширил возможности теории вероятности, позволив решать задачи, не связанные с гипотезой о равновозможности элементарных подходов.

Кроме того, по мере развития теории вероятностей как математической науки все большее внимание уделялось представлению вероятностей случайных событий через вероятности других событий, с ними связанных: вероятности сложных событий - через вероятности более простых. А те, в свою очередь, через вероятности еще более простых и т. д. Эта цепочка теоретически могла продолжаться до тех пор, пока дело не дойдет до вероятностей самых простых, уже неразложимых событий - элементарных исходов случайного опыта. Для выполнения таких вероятностных расчетов необходимо знание вероятностей только элементарных случайных событий (исходов опыта); знания свойств вероятностей и умения с ними оперировать. В связи с этим следует подчеркнуть, что свойства "классических" вероятностей, рассмотренные в разделе 1.7, оказались присущи и "геометрическим", и "статистическим" вероятностям. В связи с этим стало уместным говорить не о свойствах только "классических" или только "статистических" вероятностей, а о свойствах вероятностей вообще.

Таким образом, теорию вероятность стало возможным определить как математическую дисциплину, занимающуюся вычислениями вероятностей сложных случайных событий при условии, что вероятности элементарных (неразложимых) событий известны.

Вычисление или экспериментальное нахождение вероятностей элементарных событий при таком подходе должно осуществлятся в рамках другой научной дисциплине о случайных явлениях, которая получила название - математическая статистика.

Такое понимание предмета теории вероятностей произошло далеко не сразу. Большой вклад в развитие теории вероятностей в конце XVII века и в первой половине XIX века внесли П. Лаплас (1749-1827), К.Гаусс (1777-1855), С.Пуассон (1781-1840). Особенно активно развивалась теория вероятностей во второй половине XIX века и после некоторого затишья в XX веке. Здесь фундаментальные открытия были сделаны математиками Петербургской школы П. JI. Чебышевым (1821-1884), А. М. Ляпуновым (1857-1918) и А. А. Марковым (1856-1922).

Построение строгой математической теории вероятностей стало возможным на основе теории меры благодаря введенному Мизесом понятию пространства элементарных исходов (событий).

Современное логическое обоснование теории вероятностей связано в первую очередь с именем советского математика А. Н. Колмогорова, разработавшего, так называемый, аксиоматический подход к построению теории вероятностей.