 |
|
Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Определение тригонометрического ряда и его физический смысл.
Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:
(**)
Где ao ,a1 , bn (n=1,2,3,…) любые действительные числа называемые коэффициентами ряда.
Ряд (**) можно записать по-другому .Для этого введем дополнительный угол g- нормирующий коэффициент.
An2 +Bn2=An2 
An = 
) 
g =arctg 
(**) 
+ 
Тригонометрический ряд Фурье для функций f(x+2п)=F(x).Вывод Коэффициента ряда.
Функция с периодом 2п.
При каких условиях для такой функции можно найти тригонометрический ряд сходящийся к данной функции?
а)Определение коэфф. ряда по формулам Фурье.
Пусть функция f(x) такова что она представляется тригонометрическим рядом сходящимся на(-п п)
F(x+2п)= F(x) (***)
A0 = 
An = 
dx
Bn= 
Коэфф. определяемый по этим формулам называется коэфф. Фурье,а ряд (**) с такими коэфф. называется рядом Фурье.
Б)Какими же свойствами должна обладать функция чтобы ряд Фурье для нее сходился и чтобы сумма этого ряда была равна значению данной функции в соответствующей точке.
Опр.
Функция f(x) называется кусочно монотонной на отрезке [a b] если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х1,х2,х3,….хn-1 на интервале (а1х1)(х1х2)(х2х3)…(хn-1 b) так,что на
каждом из интервалов функция была монотонна.
Из определения следует ,что если f(x) кусочно-монотонная ограниченная на отрезке [ab] ,то она может иметь только разрывы первого ряда.
Теорема.
Если периодическая функция f(x) с периодом 2п кусочно-монотонная и ограниченная на [-п п] ,то ряд Фурье ,построенный для этой функции, сходится во всех точках,сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции f(x) сумма ряда S(x) равна среднему арифметическому пределов f(x) слева и справа , т.е. если х =С точка разрыва,то сумма ряда при х=С
S(x) = 
Теорема Дирихле.
X=C
Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
F(x)-четная
A0= 
An= 
Bn=0
F(x)-нечетная
A0=0
An=0
Bn= 