Задачи для самостоятельного решения.Стр 1 из 4Следующая ⇒
Понятие «случайного события» Основным и важным понятием, науки теории вероятности является термин «случайного события». Случайным событием(или просто: событием) называется любой исход опыта, который может произойти или не произойти. Операции над событиями можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна на рис.1:
Операции над событиями обладают следующими свойствами: ▪ А+В=В+А, А∙В=В∙А (переместительное); ▪ (А+В)∙С=А∙С+В∙С, А∙В+С=(А+С)∙(В+С) (распределительное); ▪ (А+В)+С=А+(В+С), (А∙В)∙С=А∙(В∙С) (сочетательное); ▪ А + А = А, А ∙ А = А; ▪ А + Ω = Ω, А ∙ Ω = А; - 3 - ▪ А + = Ω, А ∙ = Æ; ▪ = Ω, Ω = Æ, = А; ▪ А - В = А ∙ ; ▪ = ∙ и = + — законы де Моргана. Например, рассмотрим опыт: бросание игральной кости; событие А — выпадение 5 очков, событие В — выпадение четного числа очков, событие D — выпадение целого числа очков, событие Е — выпадение не менее 3-х очков. Эти события будут состоять из следующих из элементов В={2, 4, 6}, Е={3, 4, 5, 6}, А={5}, D={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Тогда: В + Е = {2, 3, 4, 5, 6}, B ∙ E = {4, 6}, В - Е={2}. Противоположным событию A будет событие состоящее из следующих элементов = {1, 2, 3, 4, 6}, событию В Í D, так как D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то есть D= Ω.
Пример.Доказать формулу А + В = А + В. Решение. Используя некоторые из выше приведенных правил, получаем: А+В = (А + В) ∙ Ω = А∙Ω + В∙Ω= A∙Ω + B∙ (A+ ) = А∙Ω + (А+ ) ∙В = A∙Ω + A∙B + ∙B = (Ω + B) ∙A + ∙B = Ω∙A + ∙B = A + ∙В. Таким образом, сумму любых двух событий можно представить в виде суммы двух несовместных событий. Геометрическое доказательство представлено на рис. 2.
Задачи для самостоятельного решения. 1. Доказать формулы: а) В = А×В+ ×В; б) (А+С)×(В + С) = А×В+С; в) . 2. Пусть А, В и С — три произвольных события. Выразить через них следующие события: а) произошли все три события; б) произошло только С; в) произошло хотя бы одно из событий; г) ни одного события не произошло; д) произошли А и В, но С не произошло; е) произошло одно из этих событий; ж) произошло не более двух событий. - 4 - 3. Релейная схема (рис. 3) состоит из 6 элементов. Пусть события Ai (i = 1,6) состоят в том, что соответствующие элементы работают безотказно в течение времени Т. Выразить через Ai событие, состоящее в том, что схема за время Т работает безотказно. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|