Ряды Тейлора и их приложения

1°. Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные всех порядков, то степенной ряд:

называют рядом Тейлора функции в точке .

Если , то ряд

называют рядом Маклорена.

2°. Если функция представлена степенным рядом:

, , то

она бесконечно дифференцируема в окрестности точки и равна сумме своего ряда Тейлора, коэффициенты степенного ряда равны коэффициентам ряда Тейлора:

, , .

Обратное утверждение неверно: существуют функции, бесконечно дифференцируемые в окрестности точки , ряд Тейлора которых не сходится при к функции . Примером такой функции является:

Можно показать, что существуют все производные в точке и они равны нулю. Сумма ряда Тейлора этой функции совпадает со значением этой функции только в точке .

3°. Теорема (достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора).Если функция и все ее производные ограничены в совокупности на некотором интервале , то есть существует такая постоянная , что выполняется неравенство , то функция представляется в каждой точке сходящимся к ней рядом Тейлора:

Доказательство этой теоремы основано на том, что при перечисленных условиях остаток ряда Тейлора при равномерно стремится к нулю на множестве .

4°. Условия теоремы пункта 3º выполняются для функций
, , , , на любом промежутке , поэтому справедливо разложение в ряд Тейлора для:

1) показательной функции:

, ; (4)

2) тригонометрических функций:

, ; (5)

, ; (6)

3) гиперболических функций:

, ; (7)

, . (8)

Радиус сходимости ряда Тейлора для функции равен единице:

, (9)

где

, , , .

В отдельных случаях для разложения функции в ряд Тейлора можно использовать уже известные результаты:

, ; (10)

, ; (11)

, . (12)

(в разложении (11) заменено на ).

Ряд Тейлора логарифмической функции может быть получен
почленным интегрированием разложений (10) и (11):

, ; (13)

, . (14)

Интегрируя почленно ряд (12), можно получить разложение :

; (15)

Дифференцируя почленно ряд (10), получим:

, . (16)

Если в разложении (9) изменить на , а выбрать равным , то можем получить разложение:

, . (17)

5°. Коэффициенты ряда Тейлора обычно находят с помощью известных разложений ((4)-(17)), применяя различные приемы: представление функции в виде суммы более простых функций, замену переменной, почленное интегрирование и дифференцирование ряда, метод неопределенных коэффициентов и прочие.

Примеры

Разложите в ряд Тейлора функции в заданной точке . Найдите радиус сходимости.

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

Решение

1. Представим рациональную функцию в виде суммы элементарных рациональных дробей:

Используя разложения (10) и (11), получим:

, ;

, .

Окончательно:

где .

2. В этом случае нужно разложить функцию в окрестности точки , то есть по степенями . Полагая , получим:

Используя формулы (13) и (14), находим:

, .

Отсюда окончательно получим:

, .

3. Поскольку :

Обозначим , , тогда:

И поэтому:

Используя формулы (5) и (6), получим:

, .

4. Вычислим производную заданной функции ,

Из разложения (12) следует, что

, .

Интегрируя полученный ряд почленно, получаем:

, ,

Окончательно имеем:

, .

6°. Ряды Тейлора часто используют для вычисления сумм числовых рядов, интегралов, вычисления приближенных значений функций, интегралов, решения дифференциальных уравнений.

Примеры

1. Вычислите .