Главная | Обратная связь

Решение уравнений движения и роль начальных условий.

Билет1. Вопрос1.

Предмет механики. Пространство и время в механике Ньютона. Система координат и тело отсчёта. Часы. Система отсчёта.

 

 

Механика – наука о движении и равновесии тел, и происходящих при этом взаимодействиях между ними.

 

При построении теории физика заменяет реальные обьекты их идеализированными моделями. Движение – это изменение относительнеого положения тела с течением времени. Впервые принципы механики сформулированы Ньютоном в «Математических началах натуральной философии». Тело или система тел, относительно которых определяется положение остальных тел называется простанственной системой отсчета (ПСО). В качестве ПСО можно взять произвольное твердое тело и связать с ним координатные оси, например, декартовой системы координат. Существует два вида координатных систем: 1) правая, 2) левая. Определяются они с помощью правила буравчика.

Пронстранство и время – это категории, обозначающие основные формы существования материи. Пространство выражает порядок сосуществования отдельных объектов. Время выражает порядок смены явлений.

Пространство (по Ньютону) – это совокупность физического тела и возможных его продолжений.

Время – это показание каких-то часов

Часы – устройство, с которым связан периодический процесс, положенный в основу отсчёта времени.

Основная задача механики состоит в том, чтобы, зная начальные условия, определить закон движения для тел системы.

Системы координат: примеры. Декартовы правостороняя и левосторонняя.

Система отсчёта – это система координат (вместе с телом отсчёта) плюс часы.

 

 

Билет2. Вопрос1.

Кинематика материальной точки. Система материальных точек. Уравнение кинематической связи. Закон движения.

 

Кинематика – раздел механики, посвящённый изучению геометрических свойств движений тел, без учёта их масс и действующих на них сил.

Материальная точка – абстрактное тело нулевых размеров.

Закон движения – зависимость координат точки от времени.

Уравнение траектории – уравнение кривой, по которой движется точка.

Эквивалентное определение траектории – годограф радиус-вектора материальной точки.

Движение материальной точки будет описано полностью, если известно ее положение в любой момент времени в выбранной системе отсчета. Полное описание движения сводится к нахождению трех координат: x = x(t); y = y(t); z = z(t); или к нахождению векторной функции r = r(t). .

– мгновенная скорость.

Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки: ,

Понятие угловая скорость и угловое ускорение относятся к случаю движения материальной точки по окружности. Положение точки М на окружности задается углом a, который составляет радиус-вектор точки М с неизменным направлением ОХ. Производная этого угла по времени называется угловой скоростью w: . Если w = Сonst, то движение равномерно. n=w/2p – число оборотов в единицу времени (частота обращения).

Первая призводная угловой скорости и вторая производная угла по времени – это угловое ускорение: . Продифференцируем S=r´a по времени и получаем:

S’=(r’)*a+(a’)*r=w*r

S’’=(w*r)’=r*w’+r’*w=re (r*w’ - тангенциальное ускорение) + (v*w =v²/r — центростремительное ускорение).

Уравнение кинематической связи – уравнение, связывающее кинематические характеристики системы.

Примеры.

 

Билет3. Вопрос1.

Инерциальные системы отсчёта. Преобразования Галилея.

 

Инерциальнойназывается такая система отсчёта, в которой изолированное тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения.

Изолированным называется такое тело, на которое не действуют другие тела.

Законы сложения:

r = R + r’;

v = V + [w r’] + v’;

a = A + [w [w r’]] + [b r’] + 2 [w v’] + a’;

абсолютное = переносное + кориолисово + относительное

Выводятся в лоб дифференцированием с учётом: di/dt = [w i]; dj/dt = [w j]; dk/dt = [w k];

Преобразования Галилея (условия: A=0, w=0, b=0,V=i V_x, V_x=const > 0, i||i’, j||j’, k||k’, время синхронизировано):

x = x’ + Vt;

y = y’;

z = z’;

t = t’;

(концепция ã ЧМЗ)

Следствия:

v = V + v’;

a = inv;

 

Уравнения, остающиеся неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой, называются инвариантнымиотносительно этих систем отсчёта.

События, одновременные в одной системе, одновременны и в другой, т. е. утверждение об одновременности двух двух событий имеет абсолютный характер, независимый от системы координат.

Длина – инвариант преобразований Галлилея. Длинной движущегося стержня наз. расстояние между координатами его концов в некоторый момент времени. Следуя из этого инвариантность длинны легко доказывается.

Интервал времени явл. инвариантом преобразований Галлилея (Dt=t₂–t₁=t’₂–t’₁=Dt’)

Сложение скоростей получается из дифференциирования формул преобразования Галлилея.

Ускорение инвариантно относительно преобразований Галлилея. Это утверждение доказывается дифференциированием преобразований скорости и учитывая, что Dt=Dt’.

 

Билет4. Вопрос1.

Законы динамики. Первый, второй и третий законы Ньютона. Масса и сила в механике Ньютона. Уравнение движения и его решение. Роль начальных условий.

Законы динамики – три закона Ньютона и законы, описывающие индивидуальные свойства сил. (см. гравитация, упругость, трение)

 

Всякое тело оказывает сопротивление при попытках изменить модуль или направление его скорости. Это свойство тел называется инертностью.

Инертная Масса – это мера инертности тела (при его поступательном движении).

Сила - любая причина, изменяющая импульс движущегося тела (мера взаимодействия). Одно из количественных определений: mr¢¢=F.(имхо: бред)

I закон Ньютона – существуют такие системы отсчёта, в которых изолированное тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения.

II закон Ньютона – a = F / m, где F – равнодействующая сил, действующих на точку, a – ускорение точки, m – инертная масса точки.

III закон Ньютона – совокупность 5 утверждений:

1. силы взаимодействия в природе возникают парами
2. эти силы равны по величине
3. эти силы противоположны по направлению
4. эти силы действуют вдоль одной прямой
5. эти силы имеют одинаковую природу

 

Уравнение движения – 2-й закон Ньютона записанный в виде F = m a, где F – равнодействующая сил, a – ускорение точки, m – инертная масса.

Законы Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея.

 

Решение уравнений движения и роль начальных условий.

Основная задача механики состоит в том, чтобы, зная начальные условия, определить закон движения для тел системы.

Первый способ решения основной задачи механики состоит в том, чтобы найти закон движения, используя законы динамики.

Система законов, описывающих индивидуальные свойства сил, действующих в системе, подставленные в систему из уравнений движений элементов системы + уравнения кинематической связи дают систему диференциальных уравнений, а законы движения для тел системы являются его решением. Отсюда очевидно, что задача не может быть решена если не известны начальные условия системы.

 

 

Билет5. Вопрос1.

Законы, описывающие индивидуальные свойства сил. Закон всемирного тяготения. Закон Гука. Законы для сил сухого и вязкого трения. Явление застоя. Явление заноса.

 

Закон всемирного тяготения: F₁₂ = - g m₁ m₂ r₁₂ / r₁₂³ , где______________.

g=6,67 * 10^-11 м³/кг * с²

Закон Гука – деформация тела, если она достаточно мала, пропорциональна приложенной силе.

Для стержней: s =E e, где s - напряжение на торце стержня sºF/S, где F – продольная сила действующая на торец стержня, S – площадь поперечного сечения стердня E – модуль Юнга – характеристика материала из которого сделано тело. eºDl/l₀, где Dl изменение длины стержня, а l₀ - начальная длина стержня.

Сухое трение.Сила сухого рения покоя возникает на поверхности двух соприкасающихся тел и равна разности сил приложенных к телам. Если 2 поверхности движутся, то сила сухого трения пропорциональна силе нормального давления и направлена в сторону, противоположную скорости тела относительно соприкасающейся с ним поверхности.

Силами тренияобычно называют тангенциальные силы, вознкающие между соприкасающимися телами.

Закон Амонтона-Кулона: F = m N, где ______________, справедлив в 2-х случаях

1. для максимальных сил трения покоя.
2. для сил трения скольжения при достаточно малых скоростях.

Сила вязкого трения.В случае силы сухого трения при силах, меньших силы трения скольжения 2 поверхности не движутся относительно друг друга, а вслучае вязкого трения какова бы ни была сила – возникнет движение, причем для малых скоростей сила вязкого трения пропорциональня скорости, а на больших скоростях её квадрату. В общем случае уравнение для силы вязкого трения представляет бесконечный палином.

Явления застоя и заноса – См.

 

Билет6. Вопрос1.

Импульс материальной точки и импульс силы. Изолированная и замкнутая системы материальных точек. Закон сохранения импульса.

Система материальных точек – это некоторая совокупность конечного числа материальных точек.

Изолированной называется система тел, на которую не действуют другие тела.

Замкнутой называется система тел, для которой равнодействующая всех (внешних) сил равна нулю.

Импульс тела p ºmv; импульс силы P º F*Dt

Из II закона Ньютона следует: Dp=Pдля одной материальной точки. Далее рассматривается система материальных точек и всё обобщается с учётом III закона Ньютона.

 

Закон сохранения импульса: суммарный импульс системы тел сохраняется неизменным, если система замкнута.

2 важных случая:

1. Система тел замкнута вдоль какой-либо оси => суммарный импульс системы тел сохраняется неизменным в проекции на эту ось.
2. Взрыв. F_внутр>>F_внешн и Dt мал. (F_внешн ограничена)

 

 

Билет7. Вопрос1.

Центр масс. Теорема о движении центра масс.

Точкой приложения равнодействующей называется точка, относительно которой суммарный момент сил равен нулю.

Центр масс – точка приложения равнодействующей всех массовых сил.

(1) выводится из динамики вращения.

Массовая сила – сила, пропорциональная массам.

Теорема о движении центра масс.Ц. м. системы движется так, как двигалась бы материальная точка с массой равной сумме масс всех элементов системы под действием равнодействующей всех внешних сил, действующих на систему.

Доказывается в лоб, дифференцированием выражения (1) и подстановкой полученного выражения в закон изменения импульса.

 

Билет8 Вопрос1.

Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского.

 

Движение тел с переменной массой–движение при котором тело может приобретать ускорение за счёт внешних сил, а за счёт изменения массы.

Уравнение движения тел с переменной не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, и являются их следствиями. Но они представляют большой интерес в связи с ракетной техникой.

Реактивная сила – это сила упругости, действующая на тело со стороны отбрасываемых им масс.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Пусть m(t)-масса пакеты в произвольный момент времени t, а v(t)-ее скорость в тот же момент. Импульс ракеты в этот момент будет mv. Спустя dt масса и скорость ракеты получат приращение dm и dv( dm-отрицательна). Импульс ракеты станет (m+dm)(v+dv). Сюда надо добавить импульс движения газов, образовавшихся за dt. Он равен dm_газv_газ –масса и скорость газа, образовавшихся за dt. Вычитая из суммарного импульса системы в момент t+dt импульс системы в момент t, найдем приращение этой величины за dt. Это приращение равно Fdt, где F – геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету.

(m+dm)(v+dv)+dm­_газv_газ-mv = Fdt

Время dt устремим к нулю. Поэтому, раскрывая скобки, отбрасываем dmdv. Далее dm+dm_газ=0 и v_отн=v_газ-v есть скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

mdv = v_отнdm + Fdt , деля на dt

m(dv/dt) =v_отн(dm/dt) + F (1)

Член v_отн(dm/dt) – реактивная сила . Уравнение (1)-уравнение Мещерского или уравнение движения точки с переменной массой.

Уравнение Мещерского.M dv/ dt = F - m v_отн; mº -dM/dt (dM < 0).

 

Билет9. Вопрос1.

Движение тел с переменной массой. Формула Циолковского.

Движение тел с переменной массой –движение при котором тело может приобретать ускорение за счёт внешних сил, а за счёт изменения массы.

Уравнение движения тел с переменной не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, и являются их следствиями. Но они представляют большой интерес в связи с ракетной техникой.

Рассмотрим уравнение Мещерского и допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости v_отн. Тогда проекция v_отн на направление движения будет –v_отн. Тогда

dv/dm = -(v_отн/m)

Пусть скорость газовой струи v_отн постоянна, тогда

v= - v_отн ò(dm/m) = - v_отн ln(m) + C

Значение С определяется начальными условиями. Если, в начальный момент времени скорость ракеты =v₀, а масса = m_0, тогда v₀ = - v_отн­ ln(m₀) + C , откуда С = v_отн ln(m₀) + v₀. Следовательно : v = v_отн ln(m/m₀) + v₀ или

m₀=m e^{(V- Vо) / V отн} . (2)

Уравнение (2) – формула Циолковского. Она справедлива для нерелятивистских движений (v и v_отн­ << c )

Итак:

Формула Циоловского.(условия F=0, v↑↓v_отн) m₀=m e^{(V- Vо) / V отн} , где ___________.

 

Билет10. Вопрос1.

Момент импульса материальной точки. Момент силы. Закон сохранения момента импульса.

 

Момент силы относительно начала координат М≡[r F]

Плечом силы, действующейв плоскости, перпендикулярной оси вращения,называется расстояние между линией действия силы и осью вращения.

Момент импульса материальной точки относительно начала координат L≡m[r v]

Закон сохранения момента импульса – суммарный момент импульса относительно некоторой геометрической точки/оси сохраняется неизменным, если суммарный момент всех внешних сил относительно этой точки/оси равен нулю.

Доказывается в лоб домножением уравнения изменения импульса на радиус-вектор.

 

 

Билет11. Вопрос1.

Работа силы. Энергия системы материальных точек. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия.

Элементарная работа силы F : dAº(F×dr), где dr –элементарное перемещение точки приложения силы F.

Работасилы Fна участке s -

Энергияесть величина работы, которую система может совершить.

Механическая энергия – запас работы системы. (имхо: не отличается от просто энергии – не корректно. Прим. корректора)

Кинетическая энергия системы – это запас той её работы, которую система может совершить двигаясь до полной остановки всех своих частей.

Потенциальная энергия системы – это запас той её работы, которую система может совершить, изменяя свою конфигурацию.

Конфигурация – взаимное расположение частей системы.

Нормировка потенциальной энергии – это выбор конфигурации системы, для которой потенциальная энергия принимается равной нулю.

 

Бтлет12. Вопрос1.

Консервативные силы. Консервативные системы. Связь консервативных сил с потенциальной энергией. Закон сохранения механической энергии.

 

Диссипативныминазываются такие силы, полная работа которых при любых движениях в замкнутой системе всегда отрицательна.

Потенциальными называют силы, работа которых по замкнутому контуру равна нулю.

Консервативные и потенциальные силы – одно и то же.

Консервативной называется система, в которой действуют только консервативные силы.

Так как работа консервативных сил зависит только от начального и конечного положения материальной точки, на которую они действуют, то их работа – это работа, совершаемая при изменении конфигурации тел, то есть изменение потенциальной энергии системы, взятое с обратным знаком. Примеры: сила упругости, сила тяжести, сила тяготения.

Закон сохранения механической энергии (он же: закон сохранения не какой попало энергии ã ЧМЗ) – механическая энергия системы тел сохраняется неизменной, если суммарная работа всех внешних сил и сил трения в системе равна нулю.

Выводится из законов Ньютона.

 

Билет13. Вопрос1.

Соударения тел. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. Законы сохранения при соударениях тел.

Абсолютно неупругим называется такой удар, в результате которого скорости соударяющихся тел становятся одинаковыми.

Абсолютно упругим называется такой удар, в результате которого суммарная кинетическая энергия соударяющихся тел сохраняется неизменной.

Далее примеры.

 

Билет14. Вопрос1.

Движение материальной точки в неинерциальной системе отсчёта. Силы инерции. Переносная и криолисова силы инерции. Центробежная сила инерции.

 

ma=Fвнеш

 

Законы сложения:

r = R + r’;

v = V + [w r’] + v’;

a = A + [w [w r’]] + [b r’] + 2 [w v’] + a’;

абсолютное = переносное + кориолисово + относительное

 

ma’= Fвнеш - mA- m w [w r’]] - m [b r’] - 2m [w v’]

Переносная сила инерции – это сила, равная произведению массы материальной точки на взятое с обратным знаком её переносное ускорение. (- mA- m w [w r’]] - m [b r’])

Кориолисова сила инерции – это сила, равная произведению массы материальной точки на взятое с обратным знаком её кориолисово ускорение. (-2m [w v’])

Центробежная сила инерции – это сила, равная произведению массы материальной точки на её центростремительное ускорение, взятое с обратным знаком. (-m w [w r’]])

 

Билет15. Вопрос1.

Кориолисова сила инерции. Примеры её проявления на земле.

Кориолисова сила инерции – это сила, равная произведению массы материальной точки на взятое с обратным знаком её кориолисово ускорение. (-2m [w v’])

Примеры: отклонение падающих тел, маятник Фуко, стирание правого рельса и подмывание правого берега в северном полушарии. Доказывается в лоб. Главное не напутать с правилом Буравчика и не потерять минус.

Билет16. Вопрос1.

Законы сохранения в неинерциальных системах отсчёта.

 

Закон сохранения импульса: суммарный импульс системы тел сохраняется неизменным, если равнодействующая всех внешних сил и сил инерции равна нулю.

Закон сохранения механической энергии – механическая энергия системы тел сохраняется неизменной, если суммарная работа всех внешних сил, сил трения в системе и сил инерции равна нулю.

 

Вывод аналогичен выводу для инерциальных СО, только к внешним силам всюду добавляются инерциальные.

Билет17. Вопрос1.

Понятие о массовых силах. Принцип эквивалентности Эйнштейна.

 

Массовая сила – сила, пропорциональная массам.

Если коэффициент перед массой не равен константе, то сила не массовая.

Принцип эквивалентности: силы инерции и тяготения локально неразличимы.

 

Сначала рассматриваются сила тяжести и переносная сила инерции без учёта вращения. После берётся общий вид и локализация (r – const).

 

Билет18. Вопрос1.

Основные понятия теории относительности. Пространство и время в релятивистской механике. Два постулата Эйнштейна. Скорость света, как максимальная скорость распространения сигналов.

Время – свойство материальных процессов иметь определённую длительность, следовать друг за другом в определённой последовательности и развиваться по этапам и стадиям (Матвеев).

 

Постулаты СТО:

1. Как механические, так и электромагнитные явления описываются во всех инерциальных системах отсчёта одинаковыми уравнениями.
2. Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме есть величина универсальная для всех инерциальных систем отсчёта и равная с.

 

Сигналом называется такой физеческий процесс, который может переносить информацию из одной точки пространства в другую. (Матвеев)

 

Синхронизация часов.

Темп часов одинаков, если временной интервал между посыланием сигналов измеренный по часам, расположенным в точке источника сигналов, совпадает с временным интервалом между принятыми сигналами, измеренным по часам, находящимся в точке приёмника.

 

Любые двое часов, находящиеся на расстоянии s друг от друга, синхронизованны,если разность показаний часов в момент прихода светового сигнала в точку нахождения одних часов и его испускания из точки нахожения других равна s/c (Матвеев).

Билет19. Вопрос1.

Преобразования Лорентца.

 

Преобразования Лорентца:

 

Учитывая

прямые преобразования Лорентца имеют вид:

Обратные преобразования Лорентца имеют вид:

 

(в правой части либо штрих, либо минус ã ЧМЗ)

 

Теоретически преобразования Лорентца выводятся из постулатов теории относительности и однородности времени и пространства.

 

Следствия из преобразований Лорентца:

 

Билет20. Вопрос1.

Собственная длина и собственное время. Лоренцево сокращение длины. Релятивистское замедление хода часов.

 

Собственная длина – длина покоящего отрезка.

Собственное время – время показанное часами, находящимися в покое в своей системе отсчёта.

 

Лорентцово сокращение длины и релятивистское замедление хода движущихся часов:

выводятся в лоб из прямых преобразований Лорентца.

 

Билет21. Вопрос1.

Экспериментальные подтверждения замедления времени. «Парадокс близнецов».

 

Распад мюонов.

Кругосветное путешествие атомных часов. 1972 г.

где: v – скорость тел на поверхности Земли. u – скорость самолёта.

Так же влияет на замедление часов влияет поле тяготения, которое затормаживает часы на поверхности Земли сильнее, чем на самолёте.

Относительное уменьшение длительности некоторого просесса над поверхностью Земли: 10^-15 /10 метров.

Было экспериментально показано, что время жизни частиц, закрученных в магнитном поле возрастает с возрастанием их скорости.

 

Парадокс – то, что на первый взгляд непонятно, а на 2–й – понятно.

Парадокс близнецов состоит в том, что с одной стороны первый близнец облетает второго, а с другой второй первого (в силу относительности движения). Но дело в том, что системы отсчёта не эквивалентны.

 

 

Билет22. Вопрос1.

Преобразования Галелея как предельный случай преобразований Лоренца.

 

Преобразования Галилея являются предельным случаем преобразований Лоренца в случае если скорость света в вакууме - с устремить к бесконечности.

 

Билет23. Вопрос1.

Событие: интервал между событиями. Инвариантность интервала. Свето-подобные, времени-подобные и пространственно-подобные интервалы.

 

Событие – совокупность 4-х размерных величин (x,y,z,t)

Интервал Ds º Sqrt ((Dx)² + (Dy)² + (Dz)² - (c Dt)² ), где ___________.

Ивариантность интервала относительно преобразований Лорентца доказывается в лоб из преобразований Лорентца, а не из формул сокращения временного и пространственного интервалов по отдельности.

Пространственноподобным называется такой интервал Ds, для которого Ds²>0.

Времениподобным называется такой интервал Ds, для которого Ds²<0.

Светоподобным называется такой интервал Ds, для которого Ds²=0.

 

 

Билет24 Вопрос1

Относительность одновременности. Интервал между событиями. Причинно-следственная связь между событиями.

Два события, происшедшие в различных точках системы координат называются одновременными, если если они происходят в один и тот же момент времени по часам этой сисьемы координат. События, одновременые в одной системе координат, могут быть неодновременны в другой системе координат.

 

Пример: при

Интервал Ds º Sqrt ((Dx)² + (Dy)² + (Dz)² - (c Dt)² ), где ___________.

Чтобы причинно-следственная связь имела объективный характер и не зависела от системы координат, в которой она рассматривается, необходимо, чтобы никакаие материальные воздействия, осуществляющие физическую связь событий, происходящих в различных точках, не могли передаваться со скорстью, большей скорости света.

Иначе говоря: причинно-следственная связь может иметь место, если Ds² > 0. в силу инвариантности интервала.

 

Билет25. Вопрос1.

Кинематика твёрдого тела. Поступательное и вращательное движение твёрдого тела. Плоское движение. Мнгновенная ось вращения.

Кинематика – раздел механики, посвящённый изучению геометрических свойств движений тел, без учёта их масс и действующих на них сил.

 

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором отрезок, соединяющий любые 2 точки тела, остается параллельным самому себе.

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором траектории всех точек тела представляют собой окружности, параллельные друг другу.

Плоским называется такое движение твёрдого тела, при котором траектории всех его точек располагаются в параллельных плоскостях.

Мгновенной называется такая ось вращения, при помощи которой движение твердого тела в данное мнгновение можно представить как только (чисто) вращательное.

 

 

Билет26. Вопрос1.

Динамика твёрдого тела. Уравнение движения и уравнение моментов. Динамика плоского движения твёрдого тела.

 

Закон сохранения момента импульса – суммарный момент импульса относительно некоторой геометрической точки/оси сохраняется неизменным, если суммарный момент всех внешних сил относительно этой точки/оси равен нулю.

 

Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции твердого тела относительно некоторой произвольной оси равен сумме 2-х слагаемых:

1. момента инерции этого тела относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно данной.
2. произведения массы тела на квадрат расстояния от ц.м. тела до данной оси.

 

Импульс твёрдого тела остаётся неизменным, если сумма всех внешних сил и сил инерции, действующих на тело равна 0.

Механическая энергия твёрдого тела сохраняется неизменной, если суммарная работа всех внешних сил и сил инерции раввна 0.

Билет27. Вопрос1.

Кинетическая энергия твёрдого тела при плоском вращении.

 

Теорема Кенига: кинетическая энергия твёрдого тела при его плоском движении равна сумме 2-х слагаемых:

W_кин = m v₀² / 2 + J₀ w² / 2, где m – инертная масса тела, v₀ – скорость поступательного движения центра масс тела, J₀ - момент инерции тела относительно центральной оси, w - угловая скорость вращения тела относительно этой оси.

Центральной называется такая ось вращениятвердого тела, которая проходит через его центр масс.

 

 

Билет28. Вопрос1.

Момент импульса твёрдого тела. Тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции.

 

расстояние от точки, относительно которой рассматривается момент импульса.

Тензором инерции называется совокупность девяти величин, характеризующих инертные свойства твёрдого тела при его вращательном движении.

доказывается в лоб, раскрытием векторного произведения

Диагональные составляющие тензора – осевые моменты, остальные – центробежные.

 

 

Билет29. Вопрос 1.

Гланые и центральные оси вращения. Силы действующие на вращающееся тело. Свободные оси вращения.

Главной называется такая ось вращениятвердого тела, в случае которой вектора угловой скорости и момента импульса коллинеарны.

Центральной называется такая ось вращениятвердого тела, которая проходит через его центр масс.

Свободной называется такая ось вращения твердого тела (эквивалентные определения),

1. в случае которой равнодействующая всех центробежных сил инерции равна нулю и сумма моментов этих сил также равна нулю.
2. которая не испытывает деформирующего влияния со стороны центробежных сил инерции.
3. которая является одновременно главной и центральной

 

Билет30. Вопрос1.

Движение тела с закреплённой точкой. Гироскопы Перецессия гироскопа. Угловая скорость прецессии.

 

Простой гироскоп – это тело, имеющее ось симметрии вращения и которое, кроме того, достаточно быстро вращается вокруг этой оси.

Прецессия – это процесс изменения ориентации свободной оси гироскопа под действием постоянных внешних сил.

Гироскопическими силами называют силы упругости, действующие на опору со стороны быстро вращающихся масс.

Элементарная теория гироскопа.

Ω

Постулат: гироскопическое тело ведёт себя таким образом, чтобы его свободная ось совпадала с направлением суммарного момента импульса.

Тогда:

N

F’

- момент импульса тела

- его изменение

- момент внешних сил

отсюда следует: - основная формула гироскопа.

Существует 3 сповоба определения

1) Физический (куда направлено …)

2) Математический (из основной формулы гироскопа)

3) Вдоль «задней» силы

 

Билет1. Вопрос2.

Гироскопические силы. Волчки.

Гироскопическими силами называют силы упругости, действующие на опору со стороны быстро вращающихся масс.

Две прецесси Юлы. Первая – производная силы тяжести, вторая – трения.

 

Билет2. Вопрос2.

Основы механики деформируемых тел. Типы деформаций. Деформации растяжения, сжатия, сдвига, кручения, изгиба. Количественная характеристика деформаций, упругая и остаточная деформации.

 

Абсолютно твердым называется тело, конфигурация которого не меняется при любых воздействиях.

Абсолютно упругим называется такое тело, у которого не остается деформации после снятия нагрузки.

Пластическимназывается такое тело, у которого остаются деформации после снятия нагрузки

Закон Гука – деформация тела, если она достаточно мала, пропорциональна приложенной силе.

График зависимости деформации от силы сначала идёт по прямой, затем, начинает загибаться вверх (деформации ещё упругие), а потом идёт ещё круче вверх, переходя в зону пластических деформаций.

Примеры деформаций.

Деформации можно измерять углами и смещениями, как абсолютно, так и относительно.

 

Билет3. Вопрос2.

Модуль Юнга, коэффициент Пуассона. Модуль сдвига. Энергия деформированного тела.

 

Для стержней: s =E e, где s - напряжение на торце стержня sºF/S, где F – продольная сила действующая на торец стержня, S – площадь поперечного сечения стердня E – модуль Юнга – характеристика материала из которого сделано тело. eºDl/l₀, где Dl изменение длины стержня, а l₀ - начальная длина стержня.

Коэфф. Пуассона μ ≡ - (Δd/d)/( Δl/l) = - (λ_y/λ_x)= - (λ_z/λ_x) (при растяжении или сжатии вдоль оси x)

μ _max=1/2

Сдвиг: τ=Gγ, где τ-касательное напряжение на поверхности бруска τºF/S где F – касательная сила действующая на поверхность пластины, S – площадь этой поверхности, γ – малый угол наклона боковой грани бруска, а G – модуль сдвига, характеризующий упругие свойства материала.

Энергия деформированного стержня W=kx²/2.

 

Билет4. Вопрос2.

Основы гидро- и аэростатики. Закон Паскаля, сжимаемость жидкостей и газов. Коэффициент всестороннего сжатия.

Закон Паскаля:внешнее давление передается жидкостью и газом по всем направлениям без изменений.

Доказываестся из треугольной призмы, подобия треугольников сечения и векторов сил и теоремы синусов.

 

Жидкости сжимаемы меньше, чем газы.

Коэффициент сжимаемости:

На сколько можно сжать одну единицу объёма среды, при изменении на единицу внешнего давления и неизменной температуре.

Коэффициент всестороннего сжатия K’≡1/K

 

 

Билет5. Вопрос2.

Распределение давления в покоящейся жидкости (газе).

Барометрическая формула.

 

Для жидкости

P = P_внеш + ρgh

Барометрическая формула.

1. dP = -ρgdh, но ρ≠const
2. PV = (m/μ)RT => ρ= (ρ₀/P₀)P
3. dP/P = -(ρ₀/P₀)gdh
4. ln(P)= -(ρ₀/P₀)gh+C; h=0 => P = P₀ => C = ln(P₀)
5. 

 

Билет6. Вопрос2.

Закон Архимеда. Условие устойчивого плавания тел.

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость/газ, действует сила, направленная вертикально вверх, численно равная весу этой жидкости/газа, вытесненной телом.

Погруженным в данную среду телом называется тело окруженное этой средой со всех сторон.

 

F_A=ρVg. Условие устойчивого плавания тел: P < ρV_{вытесн.}g + силы P и F_A действуют вдоль одной прямой, а при минимальном смещении, возникает возвращающий момент.

Пример: плавающая палочка с грузком на конце.

 

Билет7. Вопрос2.

Стационарное течение жидкости (газа). Линии тока. Трубки тока. Уравнение Бернулли.

Стационарным называется такой ток жидкости или газа, при котором конфигурация линий тока остаётся неизменной.

Линия тока – линия, касательная к которой всюду совпадает по направлению с вектором скорости частиц среды.

Трубка тока – это трубка, ограниченная линиями тока, столь малого сечения, в пределах которого скорости частиц среды одинаковы.

Уравнение Бернулли: p + rv²/2 + rgh = const, всюду вдоль линии тока где ______________.

Применимо для:

1. линии тока
2. трубки тока
3. потока в целом (если в пределах любого сечения характеристики потока одинаковы)
4. для 2-х сечений при условии, что в пределах этих сечений характеристики потока одинаковы

Модель: жидкость несжимаема, трение отсутствует, ток стационарный.

p – статическое давление (измеряется монометрическим зондом)

rv²/2 – динамическое давление (измеряется трубкой Пито)

p + rv²/2 – полное давление (измеряется трубкой Пито)

rgh – давление столба

 

Билет8. Вопрос2.

Условия применимости уравнения Бернулли. Роль вязкости. Сила внутреннего трения.

 

Условия применимости уравнения Бернулли:

 

1. линии тока
2. трубки тока
3. потока в целом (если в пределах любого сечения характеристики потока одинаковы)
4. для 2-х сечений при условии, что в пределах этих сечений характеристики потока одинаковы

При этом: жидкость несжимаема, трение отсутствует, ток стационарный, (вязкости нет?).

Явление переноса – это явление, при котором молекулами среды в их непрерывном тепловом хаотическом движении переносится некоторая физическая величина.

При вязком внутреннем трениипереносится импульс.

где η – коэффициент вязкого трения.

Коэффициент внутреннего трения средыесть величина, численно равная тому импульсу, который переносится молекулами среды в их непрерывном тепловом хаотическом движении через единичную площадку за единицу времени, при градиенте скорости слоёв среды в направлении, перпендикулярном данной площадке, численно равном единице.

 

ΔP_y/Δt =F

Коэффициент внутреннего трения средыесть величина, численно равная той силе вязкого трения, которая действует на единичную площадку, при градиенте скорости слоёв среды в направлении, перпендикулярном данной площадке, численно равном единице.

 

Роль вязкого трения: если вязкого трения нет, то ламинарное течение невозможноБилет9. Вопрос2.

 

Билет9. Вопрос1.

Течение вязкой жидкости по трубе. Формула Пуазейля.

Так как

ускорения нет

 

- Формула Пуазейля.

 

Билет10. Вопрос2.

Ламинарное и турбулентное течение. Число Рейнольдса. Лобовое сопротивление при обтекании тел.

 

Ламинарным называется такой ток жидкости или газа, при котором конфигурация линий тока остаётся неизменной.

 

Re – число Рейнольдса. Re≡ρvl/η – где ρ – плотность среды, v – характерная скорость, l – характерный линейный размер.

Критерий Рейнольдса: уравнение Бернулли применимо при Re >> 1

Re≡W_кин/A_трения =(1/2) ρv²(l³)/ηl²(v/l)l; ½ опускаем в связи со знаком >>.

 

Лобовое сопротивление – проекция равнодействующей всех сил, действующих со стороны среды на тело, на направление движения.

Примеры…

 

Подъёмная сила – вертикальная составляющая равнодействующей всех сил, действующих со стороны среды на тело. (записано по памяти. прим. ред.)

Билет11. Вопрос2.

Циркуляция. Подъёмная сила. Эффект Магнуса.

 

Пример с крылом. Угол атаки – угол между нижней поверхностью крыла и горизонталью.

Эффект Магнуса– возникновение поперечной силы, действующей на тело, вращающееся в набегающем на него потоке жидкости/газа.

Объясняется с помощью уравнения Бернулли.

 

Билет 12. Вопрос2.

Колебания. Число степеней свободы системы. Свободные колебания системы с одной степенью свободы. Уравнение собственных незатухающих колебаний. Его решение.

 

Колебания – это повторяющиеся движения.

Числом степеней свободы системыназывается количество независимых координат, при помощи которых можно полностью задать положение системы в пространстве.

Собственными называются колебания системы, предоставленной самой себе.

Система со сосредоточенными параметрами – система, различные свойства которой сосредоточены в отдельных её частях.

Уравнение гармонических незатухающих колебаний: x’’ + ω₀²x=0

Квазиупругой называется возвращающая сила, пропорциональная отклонению системы от положения равновесия.

Квазиупругимназывается возвращающий момент, пропорциональный угловому отклонению системы от положения равновесия.

Решение уравнения гармонических незатухающих колебаний: x = X₀ sin (ωt+φ).

Далее следующие производные, графики, итд.

 

Билет13. Вопрос2.

Гармонические колебания. Амплитуда колебаний. Частота и период колебаний. Фаза и начальная фаза. Начальные условия.

 

Всё понятно. Начальные условия – начальные смещение и скорость.

 

Билет14. Вопрос2.

Сложение гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу. Биения. Частота биений.

Так, всё ясно. Для Лиссажу првести пример.

Фигурой Лиссажу называется кривая, совпадающая с траекторией точки, движение которой можнопредставить как суперпозицию 2-х колебаний вдоль перпендикулярных друг другу напрвлений.

Система с сосредоточенными параметрами – система, различные свойства которой сосредоточены в отдельных её частях.

Биения – медленное изменение амплитуды суммарных колебаний для 2-x источников с близкими частотами.

x₁ = X₀ sin(ω₁t+φ₁); x₂ = X₀ sin(ω₂t+φ₂); x₁ + x₂ =2X₀ cos((ω₁-ω₂)t/2+(φ₁-φ₂)/2) sin((ω₁+ω₂)t/2+(φ₁+φ₂)/2);

X₀₂=2X₀ cos((ω₁-ω₂)t/2+(φ₁-φ₂)/2).

 

 

Билет15. Вопрос2.

Затухающие колебания. Уравнение затухающих колебаний. Его решение. Показатель затухания. Логарифмический декремент затухания. Время релаксации.

 

Уравнение затухающих колебаний: x’’+ 2γx’ + ω₀²x = 0

Решение: x = X₀ e^-γt sin (ω₁t+φ) ; где ω₁² = ω₀²- γ²

γ – показатель затухания.

Логарифмический декремент затухания θ ≡ ln(X_n/X_n+1) = ln(X₀ e^-γt/ X₀ e^-γ(t+T)) = γT=1/N₀, где N₀ – количество периодов, за которое амплитуда уменьшается в e раз.

Время релаксации – время, за которое амплитуда собственных затухающих колебаний системы уменьшается в e раз.

 

Билет16. Вопрос2.

Вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний. Его решение. Процесс установления колколебаний.

Время релаксации - характерное время установления равновесия в системе.

Уравнение вынужденных колебаний: x’’+ 2γx’ + ω02x = f0 sin(ωt) (1)

Решение.

По прошествии времени релаксации: x =X sin (ωt+φ). X=? φ=?

x’ = ωXcos (ωt+φ); x’’ = -ω2 X sin (ωt+φ);

Подставляем в (1): -ω2 X sin (ωt+φ) + 2γ ωXcos (ωt+φ) + ω02 X sin (ωt+φ) = f0 sin(ωt)

При ωt = 0: -ω2 X sin (φ) + 2γ ωXcos (φ) + ω02 X sin (φ) = 0;

tg φ = -2γ ω/ ω02- ω2

1/sin2φ=1+ tg2 φ;

При ωt = π/2: 2γ ωX = - f₀ sin(φ);

X=- f0 sin(φ)/ 2γ ω;

 

 

 

В общем виде x = X₀ e^-γt sin (ω₁t+φ) + X sin (ωt+φ).

 

Билет17. Вопрос2.

Резонанс. Амплитудные и фазовые резонансные кривые. Добротность.

 

Резонанс – резкое возрастание амлитуды вынужденных колебаний, когда частота вынуждающей силы приближается к частоте собственных колебаний системы.

 

ω² ≈ ω₀² => φ_x ≈ -π/2

Добротность Q≡ = = 2π/(1-e^-2θ); при θ << 1, или δ << ω₀, Q=π/θ.

ω_рx²=ω₀²-2γ²

ω_рv²=ω₀²

ω_рa²=ω₀⁴/ ω₀²-2γ²

Произведение крайних равно квадрату средней.

X₀(ω=0) =F₀/k

A₀(ω=00) =F₀/m

Куда сдвигается, там и поднимается.

Билет18. Вопрос2.

Соотношение между силами при резонансе (на примере пружинного маятника).

 

Идея в том, что внешняя сила компенсирует силу вязкого трения, и система становится предоставленной самой себе. См. частотные графики.

ω² ≈ ω₀² => φ_x ≈ -π/2

 

Билет19. Вопрос2.

Параметрическое возбуждение колебаний. Автоколебания.

 

Параметрическим называется такое возбуждение колебанийсистемы, при котором меняются параметры этой системы.

Система с сосредоточенными параметрами – система, различные свойства которой сосредоточены в отдельных её частях.

Автоколебания– незатухающие колебания, которые поддерживаются стационарным внешним воздействием.

 

Билет20. Вопрос1.

Связанные системы. Нормальные колебания (моды). Нормальные частоты.

Нормальныминазываются такие колебания системы, при которых все части её колеблются по гармоническому закону с одинаковой частотой.

 

 

Билет21. Вопрос2.

Волны. Распространение «импульса» в среде. Продольные и поперечные волны. Уравнение бегущей волны. Скорость волны и скорости «частиц».

Волна – процесс распространения состояния.

Волновая поверхность – поверхность, во всех точках которой которой данная физическая величина имеет одно значение в любой момент времени.

Уравнение бегущей волны:

Решение уравнения бегущей волны:

 

 

Билет22. Вопрос2.

Гармоническая бегущая волна. Волны вмещений, скоростей, деформаций. Волновое уравнение. Его решение.

 

Гармоническая бегущая волна: ε = ε₀ sin(ωt-(2π/λ)x + φ);

- волна скоростей - волна деформаций.

 

Волновое уравнение:

Его решение: y(x,t) = f(t- x/v) + g(t+x/v), где f и g - произвольные дважды дифференцирунмые по обеим переменным функции.

 

Билет23. Вопрос2.

Волны на струне, в стержне, в газовой среде.Связь скорости волны со свойствами среды.

 

Волны на струне.

ρΔx =T(α+Δα) – Tα = TΔα= => =(T/ρ) ; α= => = (T/ρ) => (T/ρ)=v²

ρ – линейная плотность струны.

 

Продольные волны в твёрдом теле.

Ускорение частицы:

Получаем:

 

ρ - плотность тела, E – модуль Юнга.

 

Продольные волны в газовой среде.

PV^γ=const, где γ≡c_p/c_v= (i+2)/i где i – количество степеней свободы частицы (для воздуха i=2)

∂PV^γ+PγV^γ-1∂V=0

dV/V=(-1/γP)dP сравнивая с = = получаем: v² = γP/ρ

 

Билет24. Вопрос2.

Отражение волн от границы раздела двух сред. Основные случаи граничных условий.

 

 

1. Импульсы, идущие «туда» и «обратно» не мешают друг другу.
2. Скорость «туда» такая же как «обратно».
3. Какими порциями эенергия поступает к границе, где нет поглощения энергии, такими же она отправляется назад.
4. Энергия, которую несёт импульс не зависит от полярности, поскольку она пропорциональна квадратам деформации и скорости.

Варианты граничных условий:

1. закреплённая граница => узел
2. незакреплённая граница => пучность

 

 

Билет25. Вопрос2.

Стоячие волны. Распределение амплитуд смещений, скоростей, ускорений, частиц в стоячей волне. Узлы и пучности.

Уравнение плоской волны: y(x,t) = f(t- x/v) + f(t+x/v),

Стоячая волна –периодическое во времени синфазное колебание с характерным пространственным распределением амплитуды – чередованием узлов и пучностей.

В случае стоячей волны мех. энергия оказывается локализованной в промежутках между соседними узлами и пучностями, переходя из кинетической (в пучностях) в потенциальную (в узлах)

 

 

Билет26. Вопрос2.

Нормальные колебания струны, стержня, столба газа. Акустические резонаторы.

Нормальныминазываются такие колебания системы, при которых все части её колеблются по гармоническому закону с одинаковой частотой.

Первый обертон – второй тон.

Тон – то же что и мода – разновидность нормальных колебаний.

 

Условия нормальных колебаний струны, стержня, столба газа: L=kλ, или L=(k+1)(λ/2) (в зависимости от граничных условий).

Резонатор – колебательная система, способная резонировать при воздействии внешней силы определённой частоты и формы.

 

Билет27. Вопрос2.

Поток энергии в бегущей волне. Вектор Умова.

 

В случае плоской гармонической волныВектор Умова –вектор, направленный в сторону распространения волны и равный по модулю энергии волны, переносимой через единичную площадку в единицу времени.

ω_кин=(1/2)ρ(∂ξ/∂x)² ω_пот=(1/2)E(∂ξ/∂x)² ω_кин = ω_пот.

 

p=2 ω_кинv/v = ρ(∂ξ/∂x)² (∂x/∂t)v= -ρ (∂ξ/∂x) (∂ξ/∂t) v; (∂ξ/∂x) (∂ξ/∂t) < 0

Билет28. Вопрос2.

Движение со сверхзвуковой скоростью. Ударные волны.

 

v² = γP/ρ Так ка при ΔQ=const, PV^γ=const, а γ >1, при увеличении давления, плотность растёт, ещё сильнее, таким образом накапливается сгущение, которое формируется до тех пор, пока волна не натолкнётся на какое-нибудь препятствие, принеся с собой эффект удара.

Ударной называется волна, которая приносит с собой эффект удара.

Удар– резкое изменение параметров, характеризующих состояние среды.

 

Билет29. Вопрос2.

Элементы акустики. Звуковые волны. Громкость звука. Тембр звука.

 

Звуковыми строго говоря называются все механические волны, но если сузить понятие звуковых волн, то это механические волны частота которых может восприниматься человеческим ухом.

Частотный диапазон: 16 Гц – 6КГц. (либо 1, либо К) Длина волн: 2 см – 20 м. (либо с, либо 0)

Громкость – характеристика звука представляющая собой величину энергии/амплитуды звуковой волны.

Тембр– характеристика звука, представляющая собою спектр частот и соответствующих им амплитуд.

 

Билет30. Вопрос2.

Эффект Доплера.

 

Эффект Доплера– изменение частоты волны вследствие движения источника/приёмника.

 

В случае движения источника к приёмнику υ_п=с/λ=c/(c/υ_и - v_иT_и)= υ_и 1/(1- (v_иT_и υ_и/c) = υ_и /(1-(v_и/с))

В случае движения приёмника к источнику υ_п=с/λ=(с₀ + v_п)/ λ = υ_и (1+(v_п/с))

В общем случае: υ_п= υ_и (1+(v_п/с)) /(1-(v_и/с))