Методические указания

Вариант типового расчета для 2 модуля

1. Найти пределы:

1.1 1.2

1.3 1.4

1.5 1.6

1.7* а) б) в)

2. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

2.1 2.2 2.3*

3.1 Продифференцировать функцию . Упростить полученное выражение.

3.2 Продифференцировать функции:

а) б)

3.3* Найти производную функции , пользуясь непосредственно определением производной.

3.4 Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

а) б)

3.5* Записать формулу для производной порядка функции .

4. Провести полное исследование функций и построить их графики:

а) б) * .

5. а) Известно, что сумма двух положительных чисел и равна 20. При каких значениях и величина будет наибольшей?

б) * Определить наибольшее отклонение от нуля функции на отрезке [0; ].

в)* Криволинейная трапеция ограничена кривой и отрезками прямых . В какой точке кривой следует провести касательную, чтобы она отсекала от криволинейной трапеции обычную трапецию наибольшей площади?

Методические указания

Типовой расчет содержит пять заданий. Отмеченные “звездочкой” задачи сложнее остальных и выполняются по желанию.

Задача 1.1 Найти предел последовательности .

Решение.Представим дробь в виде разности двух дробей . Тогда -ый член последовательности можно переписать в виде

Дробь является бесконечно малой при , поэтому

Задача 1.2 Найти предел функции .

Решение.Числитель и знаменатель дроби стремятся к 0 при , то есть получается неопределённость вида . Разложим на множители числитель и знаменатель дроби, воспользовавшись информацией о том, что один корень уже известен, тогда

Задача 1.3Найти предел функции .

Решение.Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть . Таким образом, .

Дробь является бесконечно малой при , тогда при получим , при .

Задача 1.4Найти предел функции .

Решение.По формулам приведения , поэтому . Используя второй замечательный предел, получим . Так как непрерывная на всей числовой оси функция, поменяем местами знаки вычисления предела и показательной функции: . Здесь было использовано правило замены на эквивалентные бесконечно малые функции: при .

Задача 1.5Найти предел функции .

Решение.Для раскрытия неопределённости вида сделаем замену переменной , тогда . Функцию преобразуем следующим образом . Далее можно использовать эквивалентные бесконечно малые функции . Предел разности функций запишем в виде разности пределов и получим:

Задача 1.6Найти предел функции .

Решение.Заметим, что при функции и не имеют предела, а принимают все возможные значения от -1 до 1. Воспользуемся формулой для разности синусов и получим: . Функция ограничена, а аргумент функции преобразуем, домножив числитель и знаменатель на . Полученная функция является бесконечно малой при . Произведение ограниченной функции на бесконечно малую будет бесконечно малым, а, значит, .

Задача 1.7*а)Найти предел функции .

Решение.Для раскрытия неопределенностивида сделаем замену переменной . Тогда . Разложим по формуле бинома Ньютона , . Для вычисления предела будем пренебрегать бесконечно малыми функциями более высокого порядка, чем . Тогда .

Задача 1.7*б)Найти предел функции .

Решение.Для раскрытия неопределенностивида сделаем замену переменной , тогда Здесь функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем , поэтому ею можно пренебречь. Используя первый замечательный предел , найдем .

Задача 1.7*в)Найти предел функции .

Решение.Раскроем неопределенностьвида , введя новую переменную . Далее домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, и получим . Бесконечно малую функцию при заменим на эквивалентную . Тогда .

Задача 2.1 . Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.

Решение.Функция определена на всей числовой оси, но не является на ней непрерывной, так как эта функция неэлементарная. Она задана тремя различными формулами для разных интервалов изменения аргумента и может иметь разрывы в точках и , где меняется её аналитическое выражение. Исследуем поведение функции при приближении к точке слева и справа: , а . Значит, это точка разрыва 1 рода (или конечного разрыва). Далее , , то есть в точке функция непрерывна. График функции представлен на рисунке 1.

Рис.1

Задача 2.2 Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.

Решение.Разложим знаменатель этой элементарной функции на множители и получим . Эта функция определена и непрерывна во всех точках области определения: . В точках и она не определена, поэтому имеет в них разрывы. Вычислим лево и правосторонние пределы функции в этих точках: , . Следовательно, в точке функция имеет конечный разрыв, её скачок . . Следовательно, в точке функция имеет бесконечный разрыв (или разрыв 2 рода). График функции представлен на рисунке 2.

Рис.2

Задача 2.3*Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.

Решение.Элементарная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точек . Так как выполнено условие , то функция является четной, а, значит, можно исследовать на разрыв только одну точку, например, . Вычислим односторонние пределы функции в этой точке.

Так как , то .

Далее , поэтому .

Следовательно, точка , как и точка , является точкой разрыва 2 рода. График функции представлен на рисунке 3:

Рис.3

Задача 3.1 Продифференцировать функцию . Упростить полученное выражение.

Решение.Продифференцируем функцию как сумму двух функций и упростим результат: .

Задача 3.2 а) Продифференцировать функцию .

Решение.Вначале преобразуем функцию согласно свойствам логарифмов , а затем применим логарифмическое дифференцирование и найдем: , откуда .

Задача 3.2 б) Продифференцировать функцию .

Решение.Запишем функцию в виде показательной , а затем продифференцируем, используя теорему о производной произведения: . Теперь вернемся к первоначальной форме записи функции и получим ответ .

Задача 3.3* Найти производную функции , пользуясь непосредственно определением производной.

Решение. Дадим приращение , тогда получит приращение : , откуда . Исходя из определения производной, найдем: . Заменим бесконечно малую функцию на эквивалентную и получим .

Задача 3.4 а)Найти предел , используя правило Лопиталя.

Решение.Предел представляет собой неопределённость вида , поэтому преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к 0, а затем применим правило Лопиталя дважды:

Задача 3.4 б)Найти предел , используя правило Лопиталя.

Решение.Здесь имеет место неопределённость вида . Обозначим искомый предел через и прологарифмируем функцию Найдем предел её логарифма:

Теперь по найденному пределу логарифма функции найдем предел самой функции .

Задача 3.5*Записать формулу для производной порядка функции .

Решение.Дифференцируя последовательно раз данную функцию, найдем , , ,…, .

Задача 4. Провести полное исследование функций и построить их графики. Исследование функций рекомендуется проводить по следующей схеме:

Найти область определения функции.
Проверить, является ли функция чётной (нечётной), а также периодической, и указать, как эти свойства влияют на вид графика функции.
Исследовать функцию с помощью первой производной: найти интервалы монотонности и экстремумы функции.
Исследовать функцию с помощью второй производной: найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба функции.
Проверить наличие вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот графика функции.
Найти точки пересечения графика с координатными осями и (при необходимости) найти значения функции в некоторых дополнительных точках.

а) Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение.

1. Областью определения функции является вся числовая ось, кроме точки .

2. Функция не является периодической. Проверим чётность (нечётность):

- значит, функция не является ни чётной, ни нечётной – график функции не имеет симметрии ни относительно оси ординат, ни относительно центра системы координат.

3. Найдём первую производную функции :

Тогда при .

Проверим знаки производной :

y‘

Значит, функция возрастает при и убывает при . При переходе через стационарную точку производная меняет знак с плюса на минус, значит, точка - точка максимума и . При переходе через стационарную точку производная меняет знак с минуса на плюс, значит, - точка минимума и .

4. Найдём вторую производную функции :

Проверим знаки второй производной функции:

y‘‘

Функция выпукла вверх при и выпукла вниз (вогнута) при . Точка не принадлежит области определения функции, а значит, не является и точкой перегиба функции.

5. а) Так как функция не является непрерывной в точке , проверим в этой точке наличие вертикальной асимптоты:

Так как , , то прямая является вертикальной асимптотой.

б) Проверим наличие горизонтальной асимптоты : - значит, горизонтальной асимптоты нет.

в) Проверим наличие наклонной асимптоты :

, ,

значит, прямая - наклонная асимптота.

6. Находим точки пересечения функции с координатными осями: : при , : .

Дополнительные точки: ; .

График функции представлен на рис.4:

Рис.4

б) Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение.

Областью определения функции является вся числовая ось, кроме точек , удовлетворяющих уравнению: .

1. Функция является периодической , её период Т=2π.

Проверим чётность (нечётность):

; - значит, функция не является ни чётной, ни нечётной – график функции не имеет симметрии ни относительно оси ординат, ни относительно центра координат.

2. Найдём первую производную функции :

Тогда при .

Проверим знаки производной на интервале длины Т=2π

y‘

3π/4

π/4

-π/4

-3π/4

-5π/4

3. Найдём вторую производную функции :

Проверим знаки второй производной функции между точками разрыва (так как числитель второй производной в нуль не обращается ни при каких ):

y‘‘

3π/4

-5π/4

-π/4

4. а) Так как функция не является непрерывной в точках , проверим в этих точках наличие вертикальных асимптот:

, - значит, прямая является вертикальной асимптотой;

б) Проверим наличие горизонтальной асимптоты :

- не существует, значит, горизонтальной асимптоты нет.

в) Проверим наличие наклонной асимптоты :

, - не существует, значит, наклонных асимптот нет.

5. Находим точки пересечения функции с координатными осями:

: ни при каких , : .

График функции представлен на рис.5:

Рис.5

в) Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение.

1. Областью определения функции является вся числовая ось.

2. Функция не является периодической. Проверим чётность (нечётность):

- значит, функция является чётной (график функции симметричен относительно оси ординат).

3. Найдём первую производную функции :

Тогда при и разрывна при . Так как сама функция непрерывна в этих точках, то они являются критическими точками – при выполнении достаточного условия экстремума (смене знака производной при переходе через эти точки) в них может быть ”острый” экстремум.

Проверим знаки производной :

y‘

-1

Значит, функция возрастает при и убывает при . При переходе через стационарную точку производная меняет знак с плюса на минус, значит, точка - точка максимума и . При переходе через критические точки производная меняет знак с минуса на плюс, значит, - точки острого минимума и .

4. Найдём вторую производную функции :

Проверим знаки второй производной функции при переходе через точки и :

y‘‘

-1

x₁

x₂

Функция выпукла вверх при и выпукла вниз (вогнута) при . Точки являются и точками перегиба функции.

5. а) Так как функция является непрерывной везде на числовой оси, то вертикальных асимптот нет.

б) Проверим наличие горизонтальной асимптоты :

- значит, горизонтальной асимптоты нет.

в) проверим наличие наклонной асимптоты :

, ,

Значит, наклонных асимптот нет.

6. Находим точки пересечения функции с координатными осями:

Ох: при , Oy:

График функции представлен ниже на рис.6:

Рис.6

Задача 5 а) Известно, что сумма двух положительных чисел и равна 20. При каких значениях и величина будет наибольшей?

Решение.По условию задачи , поэтому и можно составить функцию , которую будем исследовать на экстремум. Найдём производную . Приравняем эту производную к нулю и получим уравнение . Корни этого уравнения и дадут подозрительные на экстремум точки функции. В точке экстремума нет, так как производная не меняет знак при переходе через эту точку, а в точке производная меняет знак с “+” на “-“, значит, это точка максимума. Тогда искомые значения чисел и .

Задача 5 б)*Определить наибольшее отклонение от нуля функции на отрезке .

Решение. Для нахождениянаибольшего отклонения от нуля функции на отрезкенужно из значений функции на концах отрезка и в точках экстремума, принадлежащих отрезку, выбрать наибольшее по модулю. Найдем значения функции на концах отрезка: ; . Далее продифференцируем функцию и приравняем полученную производную к нулю, откуда

Отрезку принадлежат две точки из найденных, а именно, и . Вычислим в них значения функции: , . Среди четырех полученных значений функции выберем наибольшее по модулю .

Задача 5 в)*Криволинейная трапеция ограничена кривой и отрезками прямых . В какой точке кривой следует провести касательную, чтобы она отсекала от криволинейной трапеции обычную трапецию наибольшей площади?

Решение.Обозначим искомую точку через и найдём значение функции в этой точке . Далее вычислим значение производной функции в этой точке: и . Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид , тогда искомая касательная задаётся уравнением . Основаниями трапеции служат отрезки и , а высота равна 4. Вычислим , и найдем площадь трапеции . Точка максимума этой квадратичной функции получается из соотношений: .